2.1 謂詞邏輯的基本概念

2.1.1 個體詞和謂詞

在謂詞邏輯中，要將原子命題分解成個體詞和謂詞兩部分。

定義2.1.1 個體是指可以獨立存在的客體，可以是一個具體的事物或抽象的概念，是原子命題所描述的對象。謂詞用來說明個體的性質(zhì)或個體間的關(guān)系。

例如，對于原子命題“小王是一個大學生”，“小王”是個體詞，“……是一個大學生”是謂詞，說明個體的性質(zhì)；而對于原子命題“3大于2”，“3”和“2”是個體詞，“……大于……”是謂詞，說明個體詞間的關(guān)系。

用謂詞邏輯表達命題，要包括表示個體的字母和表示謂詞的字母兩部分。通常用大寫英文字母表示謂詞，用小寫英文字母表示個體詞。一般地，形如“b是A”類型的命題可表達為A（b）；表示多個個體間關(guān)系的命題，如“a大于b”可表達為B（a，b），B是“……大于……”，而“點a位于點b和點c之間”可表達為P（a，b，c），P是“……位于……和……之間”。

定義2.1.2 和一個個體相聯(lián)系的謂詞稱為一元謂詞，和兩個個體相聯(lián)系的謂詞稱為二元謂詞，和n個個體相聯(lián)系的謂詞稱為n元謂詞。個體常元表示具體的或特定的個體，用a，b，c，…表示個體常元；個體變元表示抽象的或泛指的個體，用x，y，z，…表示個體變元。表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞稱為謂詞常項，表示抽象或泛指的謂詞稱為謂詞變項，都是用大寫英文字母如P，Q，R，…表示。通常根據(jù)上下文來區(qū)分P，Q，R，…表示的是謂詞常項還是謂詞變項。

定義2.1.3 一個原子命題可以用一個謂詞常項P和幾個個體常元，如a，b，c，…，表示成P（a，b，c，…）的形式。稱P（a，b，c，…）為原子命題或命題的謂詞表達式。一個謂詞常項P和幾個個體變元如x，y，z，…表示成P（x，y，z，…）的形式，稱為命題函數(shù)，其中的個體變元可以代表任意一個個體。

命題的謂詞表達式和命題函數(shù)是不同的。命題的謂詞表達式是有真值的，命題函數(shù)的真值是不確定的，例如A（x）表示x是個大學生，真值是不確定的，不是命題。當b表示小王，A（b）表示命題：“小王是個大學生”，A（b）是命題的謂詞表達式。

例2.1.1 寫出下列命題的謂詞表達式。

1）小趙不是工人。

2）小麗是非常聰明和美麗的。

3）若小明是高中生，則小明不是大學生。

4）2是偶數(shù)，4是偶數(shù)，則2+4也是偶數(shù)。

5）小麗是王老師和李老師的孩子。

解 1）設(shè)A（x）：x是工人，a：小趙。則命題符號化為

2）設(shè)A（x）表示x是聰明的，B（x）表示x是美麗的，a表示小麗，則命題符號化為

A(a)∧B(a)

3）設(shè)A（x）表示x是高中生，B（x）表示x是大學生，a表示小明，則命題符號化為

4）設(shè)A（x）表示x是偶數(shù)，B（x,y）表示x+y是偶數(shù)，a表示2，b：4。則命題符號化為

A（a）∧A（b）→B（a，b）

5）設(shè)Q（x，y，z）表示z是y和x的孩子，a表示小麗，b表示王老師，c表示李老師，則命題符號化為

Q(c，b，a)

從上面的例題可以看出，謂詞中個體的順序是十分重要的，不能隨意改變，如命題Q（c，b，a）為真，但命題Q（a，b，c）為假。

一個n元謂詞不是一個命題。命題的謂詞表達式是用具體的個體名稱取代命題函數(shù)的個體變元。命題函數(shù)的個體變元可以用個體域中的任意個體取代。事實上，個體變元在哪些范圍取值及取什么值，對是否成為命題及命題的真值有很大影響。例如，A（x）表示x是大學生。如果x的取值范圍是某大學班級中的學生，則A（x）是永真式。如果x的取值范圍是某中學班級中的學生，則A（x）是永假式。如果x的取值范圍是單位的員工，其中有些是大學生，有些不是大學生，則對有些人A（x）為真，對有些人A（x）為假。

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定義2.1.4 命題函數(shù)中，個體變元的取值范圍稱為個體域或論述域。

個體域可以是有限的，也可以是無限的。把宇宙中的一切事物作為對象的集合稱為全總個體域。通常，沒有特別說明時，個體變元的論述域是指全總個體域。

例2.1.2 設(shè)F（x,y,z）:4x+y-3z≤0，G（x,y）：x>y，求F（3,4,5）∧G（3,4）和F（2,1,3）∧G（2,1）的真值。

解 F（3,4,5）:12+4-15≤0，真值為0，G（3，4）：3>4，真值為0，所以F（3,4,5）∧G（3,4）為假。F（2,1,3）：8+1-9≤0，真值為1，G（2，1）：2>1，真值為1，所以F（2,1,3）∧G（2,1）為真。

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例2.1.3 給出執(zhí)行語句“If P（x）then x:=3”以后x的值，其中P（x）為語句“x<3”，且執(zhí)行到該語句時x的值如下。

1）x=4 2）x=3 3）x=1

解 1）執(zhí)行到語句“If P（x）then x:=3”時，若x=4，P（x）為語句“4<3”，真值為0，不執(zhí)行賦值語句“x:=3”，所以x=4。

2）執(zhí)行到語句“If P（x）then x:=3”時，若x=3，P（x）為語句“3<3”，真值為0，不執(zhí)行賦值語句“x:=3”，所以x=3。

3）執(zhí)行到語句“If P（x）then x:=3”時，若x=1，P（x）為語句“1<3”，真值為1，執(zhí)行賦值語句“x:=3”，所以x=3。

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