1.3.3 對偶式

在1.3.1節所列的等價關系式中，公式2）～9）都是由兩個公式組成的，這些成對出現的公式稱為對偶式。對偶式的定義如下。

定義1.3.3 在僅含有聯結詞、∧、∨的公式A中，將其中的∧換成∨、∨換成∧、1（或T）換成0（或F）、0（或F）換成1（或T），其他符號不變，得到的公式稱為A的對偶式，記為A*。

由定義可以看出，A*的對偶式就是A，也就是對偶式是相互的。

例如，p∨q和p∧q、和和都互為對偶式。由于，而和互為對偶式，所以p↑q和p↓q也互為對偶式。

設A（p₁，p₂，…，p_n）和A*（p₁，p₂，…，p_n）互為對偶式，其中p₁，p₂，…，p_n是出現在A和A*中的全部的命題變元，則

例如，假設A（p，q）?p∧q，則

A*（p，q）?p∨q

而

所以

類似地，有

定理1.3.1 設A和B為兩個命題公式，A和A*、B和B*互為對偶式，若A?B，則A*?B*。

證明 因為

若

A（p₁，p₂，…，p_n）?B（p₁，p₂，…，p_n）

則

即

則

A*（p₁，p₂，…，p_n）?B*（p₁，p₂，…，p_n）

?

例1.3.9 求公式的對偶式。

解 公式A的對偶式A*為

公式是重言式，而1的對偶式是0，所以，由對偶原理可以直接得知重言式A的對偶式A*是矛盾式。