1.3.2 全功能聯結詞集

蘊涵等價式說明條件聯結詞→可以用和∨表示。1.1節除了介紹5個主要聯結詞，還介紹了↑、↓和⊕三個聯結詞。按照定義有

由此可見，↑、↓和⊕三個聯結詞可以用聯結詞、∧和∨表示。

定義1.3.2 設G是一個聯結詞的集合，若任意一個命題都可用G中的聯結詞構成的命題公式來表示，則稱G為全功能聯結詞集。如在G中去掉任何一個聯結詞，就不再具有這種特性，則稱其為最小全功能聯結詞集。

可以證明，、{↑}和{↓}都是全功能聯結詞集，而、{↑}和{↓}都是最小全功能聯結詞集。

例1.3.7 證明：{↑}和{↓}是最小全功能聯結詞集。

證明

故{↑}和{↓}是最小全功能聯結詞集。

?

上述等價關系式表明，只用一個↑或↓就可以實現聯結詞、∧、∨、→、?表示的邏輯關系。在數字電子技術中，可以用與非門實現↑的邏輯關系，用或非門實現↓的邏輯關系。因此，只用與非門或或非門組成的電路就可以實現任何邏輯運算。與非門和或非門的電路符號如圖1.3.3所示。

例1.3.8 用只有一種與非門的邏輯電路實現圖1.3.1的邏輯電路的邏輯關系。

解 圖1.3.1所示邏輯電路的邏輯表達式為。化簡這個公式為只含有與非聯結詞的邏輯表達式

因此實現該邏輯關系的邏輯電路如圖1.3.4所示。