描述數據

學習目標問題 1-12 我們如何使用三種集中量數來描述數據？兩種差異量數的相對效用是什么？

研究人員采集完數據，可以采取描述性統計來對數據進行整理，將數據轉換成簡單的條形圖正是這類方法之一。如圖1.8所示，該圖展示了十年后仍在道路上行駛的不同品牌卡車的數據分布情況。觀察這樣的統計圖時，我們要格外注意。要設計一個令差異看起來明顯（圖1.8a）或不明顯（圖1.8b）的圖表是很容易的，關鍵在于如何標注縱向刻度（Y軸）。

要記住的一點：我們要聰明地思考。在解釋圖表時，要考慮刻度標簽，注意刻度范圍。

集中量數

接下來則是通過集中趨勢測量對數據進行概括，即用一個數值來代表整組數值。最簡單的測量方法是眾數（mode），即出現頻率最高的一個或多個數值。我們最熟悉的方法是平均數（mean，或算術平均數），即所有數值的總和除以數值的個數。而中位數（median）則是位于中點（第50個百分位）的那個數值。在分隔的高速公路上，中央隔離帶處于中間位置，對數據而言也是如此。如果將所有數值從高到低進行排列，一半數值會在中位數之上，另一半數值會在中位數之下。

集中量數簡明地概括了數據。但是，分布不平衡時（因為幾個異常數值而產生偏態），平均數會發生什么變化？以收入數據為例，眾數、中位數和平均數往往講述了截然不同的故事（圖1.9），這是因為平均數會受到少數極端收入的影響而發生偏差。當亞馬遜創始人杰夫·貝佐斯（Jeff Bezos）進入一家小咖啡館時，其他顧客立刻成了（平均數意義上的）億萬富翁，但顧客們財富的中位數并沒有變化。

理解了這一點，你就能明白為什么2010年美國人口普查時近65%的美國家庭的收入“低于平均水平”，處于底層的一半掙錢者的收入遠低于全國總收入的一半。因此，大部分美國人的收入低于平均水平（平均數）。平均數和中位數反映的真實故事截然不同。

要記住的一點：一定要注意報告的是哪種集中量數。如果是平均數，請考慮一些非典型的數值是否會令其產生偏差。

差異量數

一個恰當的集中量數可以告訴我們很多東西，但這個單一的數字也會忽略許多其他信息。而了解數據的變異性（數據的相似性或差異性）則會有所幫助。由低變異性數據得出的平均值比基于高變異性數據的平均值更可靠。假如在本賽季的前10場比賽中，某籃球運動員每場比賽的得分都在13到17分之間。了解這一點后，我們更相信該運動員下一場比賽中的得分會在15分左右，而非5分到25分不等。

數值的全距（range，最小值和最大值之間的差距）只是對變化的粗略估計。在其他類似群體中，如果有幾個極端數值，如圖1.9中的950 000美元和1 420 000美元的收入，就會令數值范圍出奇地大。

測量數值之間偏離（差異）程度的更有效標準是標準差（standard deviation），它會使用所有數值的信息，能夠更好地測量數值是集中還是分散。該計算公式[1]收集了有關單個數值與平均數的差異程度的信息，可以很好地說明問題。比如，A班和B班考試成績的平均數相同（75分），標準差卻迥然不同（A班為5.0，B班為15.0）。你是否有過這樣的考試經歷，一門課程有三分之二的同學成績在70分至80分之間，而另一門課程的成績則更加分散（三分之二的同學成績在60分至90分之間）？標準差和平均成績會準確地告訴我們每個班級的實際情況。

思考數值的自然分布趨勢，你就會理解標準差的含義。數量較大的數據，如身高、智力分數或預期壽命等，通常會呈對稱的鐘形分布：大部分數值都落在平均數附近，只有較少數值落在兩個極端附近。這種鐘形分布非常典型，我們將其形成的曲線稱為正態曲線（normal curve）。

如圖1.10所示，正態曲線一個有用的屬性在于，大約68%的個案都落在平均數兩側一個標準差的范圍內，大約95%的個案落在兩個標準差的范圍內。因此，正如本書第10章顯示的，大約68%的人的智力測驗分數在100±15分的范圍內，大約95%的人的測驗分數在100±30分的范圍內。