1.3.3　證明不等式

通常，結合一個函數的單調性和極值點，即可得到不等式.

例1.10　當 時，證明: .

解答　考慮函數 ，由上文知 在 內單調遞減，在 內單調遞增，則 是 的最小值點，最小值 ，從而

，

這便證明了該不等式.　　■

例1.11　當 時，證明: .

解答　考慮函數 ，計算得

,

因此 在 內單調遞增，從而

.

這便證明了該不等式.　　■

高考題中也會有證明不等式的問題，對于大多數情況，結合函數的單調性就能得到不等式.

真題 1.8(取自 2023 年新高考 I 卷)　已知函數 .證明: 當 時，.

解答　計算得 ，令 ，解得 .當 時 ，當 時 ，因此 在 內單調遞減，在 內單調遞增，有

.

要證明 ，只需證明關于 的不等式 ，即證明不等式 ，其中 .為此，構造函數

.

當 時 ，當 時 .因此 在 內單調遞減，在 內單調遞增，因此有

，

這便完成了證明.　　■

許多高考題都和不等式直接或間接相關，因此本書后面專門有一講介紹函數相關的不等式，例如 和 .