一、投資組合理論

馬科維茨（Markowitz, 1952）提出了著名的投資組合理論，該理論又被稱為均值方差模型（MV模型）。均值方差模型假設證券投資收益率是一個正態分布的隨機變量，這個隨機變量的樣本均值作為期望收益率的度量，隨機變量的樣本標準差作為風險的度量。投資者的決策過程就是期望收益率和風險的權衡。

（一）投資組合理論的假設條件和隱含條件

傳統投資組合理論具有以下假設條件：（1）投資者只關注投資的收益率這個隨機變量的均值和方差。（2）投資者是理性“經濟人”，投資者也是風險厭惡的。“經濟人”假設繼承了經濟學的基礎假設，“投資者風險厭惡”假設是現代金融學的學科假設。（3）投資者的目標是預期效用最大化。由于構成投資者效用函數的變量僅包含期望收益率和方差，期望收益率對投資者的效用產生正向影響，方差對于投資者的效用產生負向影響，因此投資者需要在風險和收益權衡的基礎上實現總效用最大化。（4）資本市場是有效的。

投資組合理論的隱含條件可以通過以下數學過程推導出來：設投資者的初始財富為W₀，投資的收益率為R，期末投資者的財富值為（1+R）W₀。假設投資的收益率R是一個離散型隨機變量，隨機變量的數學期望值為μ₀，方差為。投資者在投資中獲得的效用是收益率R的函數，即U（R）。對于效用函數在自變量等于均值μ₀處進行二階泰勒展開，有：

式（1.3）中，ο[（R-μ）3]是高階無窮小。

如果投資者只關注均值和方差，即只有均值和方差能夠組成效用的表達，那么式（1.3）中二階導數以上的變量都被視為0，即高階無窮小ο[（R-μ）3]等于0。正是由于上述原因，均值方差組合理論的一個隱含條件是：投資者的效用函數是收益率的二次函數。根據式（1.3）的數學形式，可以得到均值方差組合理論的另一個隱含條件是：證券收益率的均值和方差各自獨立地影響效用。

（二）經典均值方差組合理論的數學模型

假設證券市場中有n個證券，每個證券的收益率都是離散型的隨機變量。例如：市場中，證券i的收益率R_i的分布為（x₁，p₁；x₂，p₂；…；x_i，p_i；…；x_m，p_m），其中x_i為觀測值，p_i為概率；有E（R_i）=μ_i，。

組合的證券期望收益率矩陣為R，每個證券收益率的協方差矩陣為V，證券的權重矩陣為X，單位矩陣為I。特別地，設投資組合的收益率為R_P，組合的風險為σ_P，有以下矩陣：

由n個證券構成的投資組合，組合的收益和組合的風險方程分別為：

公式（1.5）中，代表證券的個別風險，代表組合的系統性風險。

通過簡單的數學演繹發現：組合中，證券的個別風險可以通過多樣化的投資組合消除掉，組合中的系統性風險只能通過衍生產品進行管理。

風險厭惡型的理性投資者選擇的投資組合，實際上就是投資者在約束條件下，追求組合風險的最小化。上述決策過程可以寫成下列數學表達式：

約束條件為：

上述數學問題是二次規劃問題，可以通過構建拉格朗日函數的方式求解。設A=RTV-1I，B=RTV-1R，C=I T V-1 I，D2=BC-A2，證券市場中全部證券的最小方差集合（投資外邊界）的方程為：

方程（1.9）是風險厭惡型的理性投資者所選擇的投資邊界，是雙曲線的右半支（見圖1.1）。

假設市場中還存在著無風險資產，無風險資產的收益率為R_f，無風險資產收益率序列的方差為0，無風險資產收益率序列與其他資產收益率序列的協方差為0。引入無風險資產后，投資者新的投資邊界是由無風險資產引出的相切于最小方差集合的射線（見圖1.1），這條射線被稱為資產配置線（資本市場線），投資者在資產配置線上對風險資產和無風險資產進行配置。資產配置線與最小方差集合的切點所代表的組合m₀，是資產配置中唯一被投資者選中的風險資產組合。m₀點的坐標為：

上述公式中，根據金融學理論有：。以上是經典投資組合理論的數學模型。

（三）投資組合理論的學術貢獻和投資組合模型的改進發展

投資組合理論引發了經典金融學研究的數學革命(4)。作為經典金融學理論上的開創性成果，投資組合理論做出了以下學術貢獻。首先，均值方差組合模型利用收益率序列的方差成功地解決了風險度量的問題，這使得風險度量成為具有明確金融學含義的顯性結果（朱書尚，等，2004）。其次，投資組合理論明確提出了“投資者風險厭惡”這個假設條件，這個假設條件成為金融學科的基礎假設，它是金融學科與其他經濟學下屬二級學科進行區別的重要標志。再次，投資組合理論開創了風險和收益均衡的研究方法，這種方法抓住了金融投資中的主要矛盾，完美地配合了金融學科的基礎假設。最后，這種方法被學界作為經典金融學的研究范式。

均值方差模型的主要缺點在于：首先，把投資者效用函數定義為二次函數，這意味著采用均值和方差就能夠完全代表投資收益率這個隨機變量，這種情況只有在投資收益率呈現正態分布時才能成立。資本資產定價模型（CAPM）在此基礎上進一步要求資產收益率的分布在時間的進程中具有穩定性，并且這一分布狀態能被投資者所認知（Fama & French, 2004）。然而實證結果發現，資產收益率不符合聯合正態分布的特征（Fama, 1963；Yan & Han, 2019）；資產收益率的分布不具有穩定性，收益分布狀態呈現出較強的回復性特征（Barberis, Jin, & Wang, 2021）；收益率分布的不確定性對資產收益率的高低產生交叉影響（Chae & Lee, 2018）；收益率分布的不確定性與市場的風險無關，但是它顯著影響了市場的超額收益率（Anderson, Ghysels, & Juergens, 2009）；收益率分布的時變特征可以解釋為投資者對于市場悲觀和樂觀的投資預期（李臘生，翟淑萍，關敏芳，2011）。其次，均值方差模型把投資者行為定義得過于簡單，沒有考慮到投資者之間的差別，也沒有考慮到外界環境對投資者的影響。最后，方差的計算方法是把收益率的正負偏移都作為風險因素，這實際上夸大了風險值。

為了克服均值方差模型對于風險度量的缺點，學術界一直積極地對風險的計算方法進行改進。在風險度量的改進上，馬科維茨（Markowitz, 2011）認為，下半方差能夠更加精確地度量風險的大小；實際上，在收益率變量正態分布的條件下，下半方差與方差所構建的組合模型一致，下半方差僅僅是方差的一半。菲什伯恩（Fishburn, 1977）使用下偏矩作為風險的度量方法，并構建了基于下偏矩的投資組合方程，下偏矩的定義如下：

當τ代表目標收益率時，α=1計算的是預期下行風險，α=2計算的是目標下半方差；當τ代表期望收益率時，α=1計算的是絕對半離差，α=2計算的是標準下半方差。離散形式的數學表達式為：

其中

或者

今野藤原浩和山崎廣明（Konno & Yamazaki, 1991）使用平均絕對離差作為風險的度量方法，并構建了收益和風險的均衡方程。平均絕對離差的數學表達式為：

其中

今野藤原浩、白川藤原浩和山崎廣明（Konno, Shirakawa, & Yamazaki, 1993）嘗試把偏度加入風險計量中，構建了基于方差和偏度的三次規劃模型，目前可以利用計算機技術對三次規劃模型進行數值求解。20世紀90年代，JP摩根銀行提出了風險價值的VaR計量的方法，風險被定義為在一定置信區間內最壞情況下的損失，該模型后來發展成為條件風險值模型（CVaR）。

均值方差模型的另一個改進方向是把市場摩擦因素加入模型中；市場摩擦主要包括交易成本和稅收，市場摩擦的表現形式有固定成本、固定比率成本和可變比率成本等，市場摩擦模型可以利用計算機進行數值求解。學術界還在研究參數不確定情況下的貝葉斯投資組合理論，該理論可以把投資者的行為因素加入模型中。有關上述改進，請參考鄭振龍和陳志英（2012）、趙慶和王志強（2015）等文獻。