2.1 貨幣時間價值
2.1.1 貨幣時間價值概念
任何企業的財務活動都是在特定的空間和時間中進行的，空間和時間都會影響企業的決策。比如企業準備投資一個新能源項目，在資金有限的情況下，是投資深圳的項目還是青海的項目？是現在投資還是過兩年再投資？就個人而言，你會考慮是現在借一部分錢買房還是掙幾年錢再買房這樣的問題。這些大大小小的決策都與貨幣時間價值緊密相關。在對企業業績進行評價的過程中，企業2013年的100萬元利潤和2023年的100萬元利潤是否等價？顯然，離開了時間因素，就無法合理評價企業業績。俗話說，時間可以改變一切，時間是影響財務決策的基本因素，在時間維度上現在的貨幣和未來的貨幣之間存在一種基本的換算關系，這就是貨幣時間價值。
貨幣時間價值原理揭示了在不同時點上資金之間的換算關系，是財務決策的基本依據。你為什么要為借來的錢支付利息？最基本的原因在于出借方現在把錢借給你，出借方現在就不能消費，只能推遲消費，因而出借方產生了機會成本。時間價值存在的根本原因在于對放棄當前消費的機會成本所給予的合理補償。作為理性經濟人，只有當你償還的本金加上支付的利息能保證對方所借出的資金在未來獲得的消費力不低于當期的消費力時，對方才會放棄當期的消費力而將錢借給你。債權人將l元錢借出去時，他就失去了當時使用或消費這1元錢的機會或權利，借出去的時間越長，債權人失去的機會就越多，按時間計算的這種付出的代價或投資收益稱為時間價值（time value）。
據此，貨幣時間價值可以簡明定義如下：貨幣時間價值是指在沒有風險和沒有通貨膨脹的情況下，貨幣經歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱為資金時間價值。
直觀上看，如果市場上投資機會越多（把錢投出去獲得的收益高），貨幣時間價值越高。貨幣時間價值與效用緊密聯系，只有貨幣在使用過程中帶來效用時談論貨幣時間價值才有意義。比如古代的財主把銀子（貨幣）埋入地下保存一直沒有被人發現（說明沒有投資機會或投資不夠安全），談論它的時間價值就沒有意義。換言之，只有把貨幣作為資本投入使用（讓渡使用權或投入生產）產生效用才產生時間價值。債權人出借其擁有的貨幣，推遲消費帶來的效用應該大于其立即消費帶來的效用。資金投入經營活動生產出產品，產品銷售所得應大于原來的投入，產生增值。就生產過程而言，貨幣時間價值與生產過程中的增值緊密相關。那么，將貨幣投入生產而產生增值的部分是否就是貨幣時間價值？同樣，我們將錢存入銀行，得到的利息是不是貨幣時間價值？
2.1.2 貨幣時間價值時間軸
貨幣時間價值反映了現在的貨幣與未來的貨幣之間的換算關系。在實踐中，為了能夠直觀表示貨幣時間價值與時間的關系，我們引入貨幣時間價值時間軸這一表達形式。貨幣時間價值的時間軸就是能表示各個時間點所對應貨幣價值的數軸。根據前面的討論，我們簡單地用存款利率代表貨幣時間價值。基本的貨幣時間價值時間軸如圖2-1所示。
圖2-1中，發生時間0代表期初（如年初），1代表第l期的期末和第2期的期初。向下的箭頭代表現金流出（如投資），向上的箭頭代表現金流入（收益）。圖2-1可以理解為年初存入100元，年末能取出多少錢。如果利率為10%，年末取出的金額為110[=100×（1+10%）]元，即在利率為10%的情況下，年末的110元相當于年初的100元（從效用角度看，年末消費110元的效用和年初消費100元的效用相當）。
圖2-1 基本的貨幣時間價值時間軸
圖2-1是最基本的貨幣時間價值時間軸，實踐中投入資金和取得收入過程復雜，如分次投入資金，分期取得回報（見圖2-2）。圖2-2表示第1年年初存入100元，第2年年初又存入120元，第2年年末取出50元，如果第3年年末將全部本息取出，可以計算出能取多少錢（假定年利率為10%）。
圖2-2 多階段貨幣時間價值時間軸（一）
將上述問題稍加改變，第1年年初存入100元，第2年年初又存入120元，如果第2年年末取出50元，第3年年末取出300元（全部本息取出），那么銀行存款的利率是多少？貨幣時間價值時間軸如圖2-3所示。
圖2-3 多階段貨幣時間價值時間軸（二）
企業經營的本質是投資，圖2-2和圖2-3代表投資項目的基本特點，即開始投入資金（現金流出），后期獲得收益（現金流入），其中投入與收益關系（投資收益率）是投資決策的重要基礎。
2.1.3 復利終值和現值
貨幣時間價值體現為現在貨幣（現值）與未來貨幣（終值）之間的折算關系，換言之，貨幣時間價值體現為現值與終值之間的關系（見圖2-4）。雖然利率和貨幣時間價值不同，為簡便起見，我們在一般討論中用利率代表貨幣時間價值。
圖2-4 現值與終值之間的關系
利息有單利和復利兩種計算方法。單利是指一定期間內只根據本金計算利息，當期產生的利息在下一期不作為本金，不重復計算利息。例如本金為10000元、年利率為4%的10年期單利定期存款，到期時的利息收入為4000元，每年的利息收入為400元（=10000×4%）。而復利即通常說的“利滾利”，本期產生的利息下期也要計算利息。資金會在投資中不斷產生價值，復利充分體現了貨幣時間價值的本質。
在討論貨幣時間價值時，一般都按復利計算。在復利計算時，明確多長時間計提復利一次非常重要。如銀行存款采用復利計算利息，一個月計提復利一次還是一天計提復利一次，結果大不相同。如果你在銀行有存款，你是希望一天計提復利一次還是一個月計提復利一次？
1.終值
終值（future value，FV）是指當前的資金在若干期后所具有的價值。復利終值的計算公式為
其中，FVn為復利終值，PV為復利現值，i為利率，n為計息期數。式（2-1）中的（1+i）n稱為復利終值系數（future value interest factor，FVIF），可以寫成FVIFi，n或（F/P，i，n）。因此復利終值的計算公式也可以表示為
FVn =PV×（F/P，i，n）
為了方便計算終值，可以將不同利率和期限的終值系數計算出來構成復利終值系數表，如附錄表A所示。
【例2-1】 將10000元存入銀行，年利率為4%，按復利計算，6年后終值應為多少？
解：
FV6=PV×（1+i）6=10000×（1+4%）6=12650（元）
或
FV6=PV×FVIF4%，6=10000×（1+4%）6=12650（元）
2.現值
現值（present value，PV）是指未來收到或支付的現金相當于現在的金額。式（2-1）體現了現值、終值和利率三者之間的關系，知道其中兩項就可以求出第三項。由終值求現值，稱為折現，折現時使用的利率稱為折現率。由公式FVn=PV×（1+i）n可以得到
式（2-2）中的1（/ 1+i）n稱為復利現值系數（present value interest factor，PVIF）或折現系數，可以寫成PVIFi，n或（P/F，i，n），即
PV=FVn ×PVIFi ， n =FVn ×（P/F，i，n）
通常將復利現值系數計算出來構成復利現值系數表，如附錄表B所示。
【例2-2】 若年利率為5%，企業計劃在4年后得到100萬元用于某項目的環境恢復支出（棄置費用），復利計息，則現在應為此項目存多少錢？
解：PV=FVn ×1/（1+i）n =100×1/（1+5%）4=82.3（萬元）
或 PV=FVn ×PVIF5%，4=100×1/（1+5%）4=82.3（萬元）
2.1.4 年金終值和現值
前面介紹了單筆資金的現值或終值的計算，實際中企業存款（或投資）是分次進行的，回報也是分多次取得的（見圖2-3）。其中一種特殊情況就是每隔一定時間收到（或支出）相同金額，如每月領取固定金額的工資、債券投資定期收到固定利息等，財務學中將其命名為年金。
年金（annuity）是指一定時期內每隔相等時間收（付）相同金額的款項。固定工資、折舊、利息、租金、保險費以及企業年金基金等均屬于年金。年金又可分為后付年金（普通年金）、先付年金（即付年金）、遞延年金和永續年金。
1.后付年金終值和現值
后付年金（ordinary annuity，OA）是指在每期期末收（付）等額款項的年金。這種年金最為常見（如定期存款、定投等），故也稱為普通年金。
（1）后付年金終值。每期期末收（付）等額款項的復利終值之和即為后付年金終值。用A代表年金數額，n代表計息期數，i代表利率，FVAn代表年金終值，則后付年金終值的計算可用圖2-5來說明。
圖2-5 后付年金終值的計算
由圖2-5可知，后付年金終值的計算公式為
其中，
稱為年金終值系數或年金復利系數，通常寫作FVIFAi，n或（F/A，i，n）。因此，后付年金終值的計算公式也可表示為FVAn=A×FVIFAi，n=A×（F/A，i，n），其中年金終值系數
。
不同利率、期限對應的年金終值系數可以編制成年金終值系數表，如附錄表C所示。
【例2-3】 某人在6年中每年年底定投10000元，年收益率為4%，收益按復利計算，則第6年年末能取出多少錢？
解：FVA6=A×FVIF4%，6=10000×6.633=66330（元）
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年金終值系數公式推導
將式（1）兩邊同時乘以（1+i），得
式（2）-式（1）=FVIFAi， n ×（1+i）-FVIFAi， n =（1+i）n -1
即
（2）后付年金現值。每期期末收（付）等額的系列款項的現值之和為后付年金現值（PVAn）。后付年金現值的計算可用圖2-6說明。
圖2-6 后付年金現值的計算
由圖2-6可知，后付年金現值的計算過程為
式（2-4）中，
稱為年金現值系數，可簡寫為PVIFAi，n或（P/A，i，n）。后付年金現值的計算公式也可表示為PVAn=A×PVIFAi，n=A×（P/A，i，n）=
。
根據年金現值系數
，可以計算不同期限和利率對應的年金現值系數，編制成年金現值系數表，如附錄表D所示。
【例2-4】 某企業需要在今后5年中每年年末支付10000元，如果利率為6%，則現在應存入多少元？
解：PVA5=A×PVIFA6%，5=10000×4.212=42120（元）
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年金現值系數公式推導
式（1）兩邊同時乘以（1+i），得
式（2）-式（1）=PVIFAi， n ×（1+i）-PVIFAi， n = 
即得
在理解后付年金終值和現值之間關系的基礎上，其他收付款時間與后付年金存在一定差異的年金形式也可以轉化為后付年金終值和現值之間的關系進行理解。
2.先付年金終值和現值
先付年金（annuity due，AD）是指在每期期初收（付）等額款項的年金形式。先付年金是在期初收（付）款，而后付年金是在期末收（付）款。后付年金是最常用的，年金終值和現值的系數表是按后付年金編制的。但是先付年金問題可以轉化為后付年金問題。
（1）先付年金終值。圖2-7展示了先付年金終值和后付年金終值的關系。可以看出，n期先付年金與n期后付年金的付款次數相同，但n期先付年金終值比n期后付年金終值多計算了一期利息。因此，先按n期后付年金求終值，然后再求一期的終值[乘以（1+i）]，就是n期先付年金的終值。
圖2-7 先付年金終值和后付年金終值的關系
式（2-5）中，ADn表示n期先付年金的終值。
【例2-5】 某企業每年年初存入銀行10000元，銀行存款年利率為5%，則第5年年末的本利和應為多少？
解：AD5=10000×FVIFA5%，5×（1+5%）=10000×5.526×1.05=58023（元）
例2-5也可以根據n期先付年金與n+1期后付年金的計息期數相同，但比n+1期后付年金少付一次款，只要將n+1期后付年金的終值減去一期付款額A，便可求出n期先付年金終值，二者關系為ADn=A×FVIFAi，n+1-A=A×（FVIFAi，n+1-1），可得
AD5=10000×（FVIFA5%，6-1）=10000×（6.802-1）=58020（元）
（2）先付年金現值。圖2-8展示了先付年金現值和后付年金現值的關系。
圖2-8 先付年金現值和后付年金現值的關系
先通過查閱n期后付年金的現值系數，然后再乘以（1+i），便可計算得到n期先付年金的現值系數。先付年金的現值XPVAn=A×PVIFAi，n×（1+i）。
先付年金的第一次付款不用折現，n期后付年金比n期先付年金多折現一期。將n-1期后付年金的現值系數加上一期不用折現的付款額A，便可求出n期先付年金現值系數，則先付年金的現值XPVAn=A×PVIFAi，n-1+A=A（PVIFAi，n-1+1）。
【例2-6】 某企業預計在未來5年中每年年初要支付50000元房租，年利率為6%，則企業現在要存多少錢？（因系數取值存在誤差，兩種計算方式的結果會不一致。）
解：實際上是求現值問題：
XPVA5=50000×PVIFA6%，5×（1+6%）
=50000×4.212×1.06
=223236（元）
或 XPVA5=50000×（PVIFA6%，4+1）=50000×（3.465+1）=223250（元）
如果年初一次存入223250元，利率為6%，每年會產生利息，每年年初取出50000元付租金，取5次本息剛好全部取完。
3.遞延年金現值的計算
如果你在40歲時存入一筆錢，到60歲以后分10年等額領取，你存錢的金額就是你60歲以后領取的年金的現值。這一年金是在20年后才發生的，這種年金被稱為遞延年金。
遞延年金（deferred annuity）又稱延期年金，是指開始的若干期沒有收（付）款項，之后再收（付）等額系列款項的年金形式。假定開始m期沒有收（付）款項，后面n期每期收（付）等額的系列款項。可以先將后n期年金折現至n期期初（m期期末），再將其折現至第一期期初，如圖2-9所示。
圖2-9 遞延年金現值示意
由圖2-9可以看出，先求出遞延年金在n期期初（m期期末）的現值，再將其折現至m期的第一期期初，便可求出遞延年金的現值，即遞延年金現值為V0=A×PVIFAi，n×PVIFi，m（也可以先求m+n期后付年金的現值，再減去沒有付款的前m期后付年金的現值，二者之差便是，遞延m期的n期后付年金的現值，即現值V0=A×PVIFAi，m+n-A×PVIFAi，m）。
【例2-7】 甲貸款買房，其房貸還款計劃為前10年無須還本付息，但第11～20年每年年末須償還本息10000元，銀行貸款的年利率為8%，如果甲現在要在銀行存一筆錢，以滿足未來向銀行還款需要，甲應該存多少錢？（因系數取值存在誤差，兩種計算方式的結果會不一致。）
解：V0=10000×PVIFA8%，10×PVIF8%，10
=10000×6.710×0.463=31067（元）
或 V0=10000×（PVIFA8%，20-PVIFA8%，10）
=10000×（9.818-6.710）=31080（元）
4.永續年金現值的計算
諾貝爾獎每年頒獎一次，那么該獎的獎金會不會用完？如果每年頒發的獎金只是開始存款所產生的利息，那么諾貝爾獎會永遠發下去，不會面臨無錢發獎金的問題，這就是永續年金。永續年金（perpetual annuity，PA）是指期限為無窮的年金。永續債就是沒有到期日的債券，永續債的利息可以視為永續年金。優先股的股利固定但無到期日，也可以視為永續年金。
永續年金A的現值V0可以理解為當前存入V0，未來每期產生的利息A，即A=V0×i。因此，永續年金現值V0的計算公式為
永續年金現值也可以看成期限為無限大的年金的現值，根據年金現值系數的計算公式求極限可得
【例2-8】 某企業設立一項獎學金，計劃每年年底發放10000元，一直發放下去，年利率為5%，那么該企業現在應當為該獎學金存多少錢？
解：
（元）
2.1.5 貨幣時間價值實際應用
前面介紹了現值、終值以及年金等基本概念。將現值和終值聯系起來的概念是利率（折現率）。現值一定時，利率越高，終值越大；終值一定時，折現率越大，現值越小。實踐中看起來比較復雜的問題往往可以轉化為上述基本問題。
1.連續多期非等額現金流量現值
單期貨幣的現值與終值關系相對簡單，年金雖然是多期的現金流入或流出，但每次收入或支出的金額是相等的。實際中更多的情況是每次收入或支出款項的金額并不相等，而且經常需要計算非等額現金流入量或流出量的現值之和。這種情況無非是把每一期的金額單獨折現然后相加。另外，實際中不同時期的利率可能不同，在計算現值時要考慮利率的變化。
【例2-9】 某企業未來幾年年末的凈現金流情況如表2-1所示，前3年的利率為6%，而第4年、第5年和第6年利率為5%，如果讓你現在買下該企業未來幾年的現金流收取權，你愿意為此支付的價格是多少？
表2-1 某企業未來幾年年末的凈現金流情況（單位：萬元）
解：實際上，這是一個求未來幾年現金流現值的問題。理解現值和終值的關系，需要將第4年至第6年的凈現金流按5%的折現率折到第4年年初（假定為a），然后將a按照6%的折現率折到第0年（期初）。而第1～3年的金額直接按6%折現到期初，然后將這些現值相加即可。
2.折現率的計算
在前面問題中利率（折現率）是給定的，可以計算終值或現值。但在財務管理活動中，經常會遇到已知現值、終值和計息期數，求折現率（內含報酬率）的問題。比如年初存款100元，年末本利和為110元，求利率；或年初存款100元，第二年末本利和為110元，求利率（折現率）。這樣已知單個金額的現值和終值來求折現率的問題簡單，它是理解多期復雜問題的基礎。
【例2-10】 將100元存入銀行，10年后可獲得的本利和為259.4元，問銀行存款的利率為多少？
解：
查復利現值系數表，與10年相對應的折現率中，10%的系數為0.386，因此利率應為10%。
【例2-11】 學校當前在銀行存入一筆180000元的獎學金，要剛好保證在今后20年中每年有18000元利息用作獎學金獎勵優秀學生，則利率應該是多少？
解：
查年金現值系數表可知，當利率為7%時，系數為10.594；當利率為8%時，系數為9.818。所以實際利率應在7%～8%之間，假設x為超過7%的利率，用插值法計算x的值如下：
則i=7%+0.765%=7.765%
【例2-12】 某企業在期初對項目A投入6000萬元，該項目經營期限內的現金流量如表2-2所示，求該項目投資的收益率。
表2-2 項目A經營期限內的現金流量（單位：萬元）
解：該問題類似于年初存入6000萬元，然后每年年末取出一定金額，7次剛好將本息全部取完，求存款利率（存款利率實際為將其投資于銀行獲得的收益率）。
根據現值和終值之間關系，設收益率為i，則有：
參考例2-11，使用插值法可以求出i。
3.計息期短于一年的時間價值
銀行公布利息一般是以年為單位，即年利率。如果終值和現值是按年來計算的，直接使用年利率。但實踐中可能出現以半年、1個季度、1個月甚至以天為單位的計息期。計息期越短，計息頻率越高。假定年利率為i，一年計息m次，則每期利率為R=i/m，n年計息t=m×n次。
【例2-13】 企業需要在第5年年末支付1000000元，年利率為10%。如果每半年計息一次，則現在應存多少錢？
解：如果每半年計息一次，即m=2，則
