1.5 預(yù)備知識(shí)：統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)

1.5.1 隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與概率

隨機(jī)現(xiàn)象是無(wú)法事先準(zhǔn)確確定其結(jié)果的現(xiàn)象。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，隨機(jī)現(xiàn)象是普遍存在的，研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)認(rèn)識(shí)這些現(xiàn)象是非常必要的。

觀察隨機(jī)現(xiàn)象或?yàn)榱擞^察隨機(jī)現(xiàn)象而進(jìn)行的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)現(xiàn)象可以重復(fù)多次；可能的結(jié)果不止一個(gè)，但事先可知；每次試驗(yàn)都會(huì)出現(xiàn)上述結(jié)果中的某一個(gè)，但事先不能預(yù)知是哪一個(gè)。

隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間。隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，隨機(jī)事件由一系列樣本點(diǎn)組成。

某隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性稱為事件A發(fā)生的概率，記為p(A)，(0≤p(A)≤1)。p(A)=0表示不可能發(fā)生的事件，p(A)=1表示必然發(fā)生的事件。

1.5.2 隨機(jī)變量

以隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為取值的變量稱為隨機(jī)變量。一個(gè)隨機(jī)變量具有下列性質(zhì)：可以取許多不同的數(shù)值，取這些數(shù)值的概率為p。

重復(fù)抽樣得到的樣本就是一個(gè)隨機(jī)變量，所謂“樣本容量為n的樣本”就是n個(gè)相互獨(dú)立且與總體有相同分布的隨機(jī)變量X1，…，Xn。每次具體抽樣所得的數(shù)據(jù)，就是n元隨機(jī)變量的一個(gè)觀察值，記為(X1,…,Xn)。

隨機(jī)變量可以分為離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。一個(gè)離散隨機(jī)變量只能取有限（或可數(shù)無(wú)窮）多個(gè)值，例如，投擲骰子的所有可能點(diǎn)數(shù)為1~6中的任何一個(gè)，我們就可以定義隨機(jī)變量為點(diǎn)數(shù)X=1，2，3，4，5，6，因此它是一個(gè)離散隨機(jī)變量。連續(xù)隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間的任何值，如人的身高、體重、學(xué)生的分?jǐn)?shù)等都是連續(xù)隨機(jī)變量。

若X為一隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，稱F(x)=p(X<x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量：

其中f(x)≥0。

我們稱f(x)為X的概率分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為分布密度。

分布密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）f(x)≥0；

（2）=1；

（3）；

（4）F′(x)=f(x)。

如果X的分布密度為f(x)，則記為X~f(x)。

1.5.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望也稱為均值，它描述隨機(jī)變量（總體）的一般水平，從計(jì)算方法上看它是一個(gè)加權(quán)平均值。

離散隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望記為E(X)或μ，定義如下：

式中 p(x)——取x值的概率。

連續(xù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義如下：

式中 f(x)——分布密度。

數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì)。

（1）如果a，b為常數(shù)，則E(aX+b)=aE(X)+b，特別的是E(b)=b。

（2）如果X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

（3）如果g(x)和f(x)分別為X的兩個(gè)函數(shù)，則E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]。

（4）如果X，Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。

2.方差

如果隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，稱[X-E(X)]為隨機(jī)變量X的離均差或離差，顯然，隨機(jī)變量離均差的數(shù)學(xué)期望是0，即E[X-E(X)]=0。

隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望叫作隨機(jī)變量的方差，記作Var(X)或σ2，即：

方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，即：

方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值的分散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越分散。

方差具有以下性質(zhì)(c是常數(shù))：

（1）Var(c)=0；

（2）Var(c+X)=Var(X)；

（3）Var(cX)=c2Var(X)；

（4）X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=Var(X-Y)

（5）Var(X)=E(X2)-（E(X)）2。

3.協(xié)方差

設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，定義X,Y的協(xié)方差為

如果X=Y，則有Cov(X，Y)=E[X-E(X)]2=Var(X)=σ2。

4.相關(guān)系數(shù)

描述X與Y線性相關(guān)程度可以用相關(guān)系數(shù)度量，X與Y的相關(guān)定義為

相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1，1]，ρ>0說(shuō)明X與Y為正相關(guān)，反之為負(fù)相關(guān)；越接近1，說(shuō)明X與Y的相關(guān)程度越高，反之越低。

1.5.4 重要的理論分布

1.正態(tài)分布

分布密度為

正態(tài)分布如圖1-1所示。

正態(tài)分布取決于兩個(gè)參數(shù)：均值μ和方差σ2。如果X服從正態(tài)分布，則記為X~N(μ,σ2)。

如果正態(tài)分布μ=0，σ2=1，則稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為Z~N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布密度為

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記為Φ(Z)，即，它有三個(gè)重要的性質(zhì)：

（1）p(a<Z<b)=Φ(b)-Φ(a)；

（2）Φ(-a)=1-Φ(a)；

（3）。

利用這三個(gè)性質(zhì)，可以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到相應(yīng)的概率。

可以證明，對(duì)于任意一個(gè)正態(tài)分布，我們都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

這樣，我們可以求出任意一個(gè)正態(tài)分布所對(duì)應(yīng)的概率。

關(guān)于正態(tài)分布還有一個(gè)重要的結(jié)論：如果X1,X2,…,Xn都是服從的獨(dú)立隨機(jī)變量，那么其線性組合也服從均值為、方差為的正態(tài)分布，即：

2.χ2分布

設(shè)Z1，Z2，…，Zk是互相獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布變量，則服從自由度為k的χ2分布，記為Z~χ2(k)。

χ2分布取決于自由度k。χ2分布的分布密度圖像是一個(gè)右偏分布（見(jiàn)圖1-2），當(dāng)k的值越來(lái)越大時(shí)，χ2分布的分布密度圖像會(huì)越來(lái)越趨于對(duì)稱。一般認(rèn)為，當(dāng)自由度超過(guò)100時(shí)，χ2分布近似為正態(tài)分布。

查χ2分布表可以得到給定自由度及上側(cè)面積的臨界值。

3.t分布

如果Z1~N(0,1)，Z2~χ2(k)，則服從t分布，記為t~t(k)。

t分布取決于自由度，形態(tài)是對(duì)稱分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似，但比較平緩（見(jiàn)圖1-3），當(dāng)自由度越來(lái)越大時(shí)，趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

查t分布表可以得到給定自由度及上側(cè)面積的臨界值。

4.F分布

如果Z1~χ2(k1)，Z2~χ2(k2)，則服從自由度為k1，k2的F分布，記為F~F(k1,k2)，其中k1稱為分子自由度，k2稱為分母自由度。

F分布取決于自由度，是右偏分布（見(jiàn)圖1-4）。

查F分布表可以得到給定自由度及上側(cè)面積的臨界值。

1.5.5 統(tǒng)計(jì)推斷

1.參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法。參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)需要知道統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布。

在參數(shù)估計(jì)中用得最多的是用樣本平均數(shù)估計(jì)總體均值，關(guān)于樣本平均數(shù)的抽樣分布的結(jié)論是中心極限定理。

設(shè)總體均值為μ，且存在有限方差σ2，從中抽取樣本容量為n的樣本。當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本平均數(shù)的抽樣分布近似地服從正態(tài)分布。這個(gè)結(jié)論用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為

根據(jù)中心極限定理，可以認(rèn)為樣本平均數(shù)圍繞在總體均值μ附近，故對(duì)于某一個(gè)樣本平均數(shù)，可以認(rèn)為，即是μ的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值。

在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出μ的一個(gè)取值范圍，稱為區(qū)間估計(jì)。

當(dāng)總體方差已知，大樣本，顯著性水平為α時(shí)，μ的1-α的置信區(qū)間是：

其中Z~N(0,1)。

當(dāng)總體方差未知，大樣本，顯著性水平為α時(shí)，μ的1-α的置信區(qū)間是：

如果是小樣本，則要求總體服從正態(tài)分布，仍然可以用式（1-16）和式（1-17）進(jìn)行估計(jì)。

此外，我們可以得到常用的統(tǒng)計(jì)量樣本比率、樣本方差的抽樣分布，并運(yùn)用這些分布對(duì)對(duì)應(yīng)的總體比率和總體方差進(jìn)行估計(jì)。

2.假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)也稱為顯著性檢驗(yàn)，是用來(lái)判斷樣本與樣本、樣本與總體的差異是由抽樣誤差還是本質(zhì)差別造成的統(tǒng)計(jì)推斷方法。其基本原理是先對(duì)總體的特征做出某種假設(shè)，然后通過(guò)抽樣研究的統(tǒng)計(jì)推理，對(duì)此假設(shè)應(yīng)該被拒絕還是接受做出推斷。

假設(shè)檢驗(yàn)的邏輯方法是反證法和小概率原理，并運(yùn)用樣本統(tǒng)計(jì)量的分布來(lái)進(jìn)行判斷。其基本步驟為：提出假設(shè)→建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布→設(shè)定顯著性水平并構(gòu)造拒絕域→根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值做決策。

假設(shè)檢驗(yàn)的決策規(guī)則是：如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕。

上述決策的方法稱為臨界值法，我們還可以根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率——p值進(jìn)行檢驗(yàn)。決策的規(guī)則是：如果p值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕。

限于篇幅，對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)的具體內(nèi)容，讀者可參閱其他專門(mén)的統(tǒng)計(jì)學(xué)資料。