1.3 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)（Boolean Algebra），是研究邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)與數(shù)學(xué)代數(shù)不同，邏輯代數(shù)不是研究變量大小之間的關(guān)系，而是分析研究變量之間的邏輯關(guān)系。

1.3.1 基本邏輯運(yùn)算

邏輯運(yùn)算共有三種基本運(yùn)算：與、或、非。

1.邏輯與和與運(yùn)算（AND）

（1）邏輯關(guān)系

邏輯與關(guān)系可用圖1-3說(shuō)明。只有當(dāng)A、B兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合時(shí)，燈F才會(huì)點(diǎn)亮。即只有當(dāng)決定某種結(jié)果的條件全部滿足時(shí)，這個(gè)結(jié)果才能產(chǎn)生。

（2）邏輯表達(dá)式

F=A·B=AB

其中“·”表示邏輯與，“·”號(hào)也可省略。有些技術(shù)資料中也有用A∧B、A∩B表示邏輯與。邏輯與也稱為邏輯乘。

（3）運(yùn)算規(guī)則

①0·0=0

②0·1=1·0=0

③1·1=1

上述運(yùn)算規(guī)則可歸納為：有0出0，全1出1。

（4）邏輯電路符號(hào)

邏輯與的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)如圖1-4所示，矩形框表示門電路，方框中的“&”表示邏輯與。

2.邏輯或和或運(yùn)算（OR）

（1）邏輯關(guān)系

邏輯或可用圖1-5說(shuō)明，A、B兩個(gè)開(kāi)關(guān)中，只需要有一個(gè)閉合，燈F就會(huì)點(diǎn)亮。即決定某種結(jié)果的條件中，只需其中一個(gè)條件滿足，這個(gè)結(jié)果就能產(chǎn)生。

（2）邏輯表達(dá)式

F=A+B

其中“+”表示邏輯或，有些技術(shù)資料中也有用A∨B、A∪B表示邏輯或。邏輯或也稱為邏輯加。

（3）運(yùn)算規(guī)則

①0+0=0

②0+1=1+0=1

③1+1=1

上述運(yùn)算規(guī)則可歸納為：有1出1，全0出0。

（4）邏輯電路符號(hào)

邏輯或電路符號(hào)可用圖1-6表示，矩形框中的“≥1”表示邏輯或。

3.邏輯非和非運(yùn)算

（1）邏輯關(guān)系

邏輯非可用圖1-7說(shuō)明，只有當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)，燈F才會(huì)點(diǎn)亮；開(kāi)關(guān)A閉合時(shí)，燈F反而不亮。即條件和結(jié)果總是相反。

（2）邏輯表達(dá)式

讀作“A非”。

（3）運(yùn)算規(guī)則

①A=0，F=1

②A=1，F=0

（4）邏輯電路符號(hào)

邏輯非符號(hào)可用圖1-8表示，矩形框中的“1”表示邏輯值相同，小圓圈表示非邏輯。

4.復(fù)合邏輯運(yùn)算

除與、或、非基本邏輯運(yùn)算外，廣泛應(yīng)用的還有復(fù)合邏輯運(yùn)算，由兩種或兩種以上邏輯運(yùn)算組成，如表1-4所示。在此基礎(chǔ)上，還可組合成更復(fù)雜的邏輯運(yùn)算。

需要指出的是，多種邏輯運(yùn)算組合在一起時(shí)，其運(yùn)算次序應(yīng)按如下規(guī)則進(jìn)行。

①有括號(hào)時(shí)，先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外。

②有非號(hào)時(shí)應(yīng)先進(jìn)行非運(yùn)算。

③同時(shí)有邏輯與和邏輯或時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行與運(yùn)算。

例如，表1-4中異或運(yùn)算邏輯表達(dá)式中，應(yīng)先進(jìn)行B和A的非運(yùn)算；再進(jìn)行和的與運(yùn)算，最后進(jìn)行和之間的或運(yùn)算。

1.3.2 邏輯代數(shù)

1.邏輯代數(shù)的基本定律

①0-1律：A·0=0　　A+1=1

②自等律：A·1=A　　A+0=A

③重疊律：A·A=A　　A+A=A

④互補(bǔ)律：　　

⑤交換律：A·B=B·A　　A+B=B+A

⑥結(jié)合律：A·(B·C)=(A·B)·C　　A+(B+C)=(A+B)+C

⑦分配律：A·(B+C)=AB+AC　　A+B·C=(A+B)(A+C)

⑧吸收律：A(A+B)=A　　A+AB=A

⑨反演律：　　

⑩非非律：

2.邏輯代數(shù)三項(xiàng)規(guī)則

邏輯代數(shù)除上述基本定律外，還有三項(xiàng)重要規(guī)則。

（1）代入規(guī)則

在任一邏輯等式中，若將等式兩邊所有出現(xiàn)同一變量的地方，代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則此等式仍然成立。

例如，若將F=BC代入中的B，證明等式仍然成立。

所以，等式成立。

上述證明還可以推廣到n個(gè)變量的情況：

（2）反演規(guī)則

若將原函數(shù)F中的原變量變?yōu)榉醋兞浚醋兞孔優(yōu)樵兞浚啊ぁ弊優(yōu)椤?”“+”變?yōu)椤啊ぁ薄?”變?yōu)椤?”“0”變?yōu)椤?”，則得到的新函數(shù)為原函數(shù)的反函數(shù)。

例如，異或門，F=，求其反函數(shù)同或門時(shí)可得：

（3）對(duì)偶規(guī)則

若將邏輯函數(shù)中的“·”變?yōu)椤?”“+”變?yōu)椤啊ぁ薄?”變?yōu)椤?”“0”變?yōu)椤?”，則得到的新函數(shù)與原來(lái)的函數(shù)成對(duì)偶關(guān)系。

例如，上述基本定律①～⑨中的兩個(gè)公式均符合對(duì)偶規(guī)則。

3.邏輯代數(shù)常用公式

在邏輯代數(shù)的運(yùn)算、化簡(jiǎn)和變換中，除上述基本定律、規(guī)則外，還經(jīng)常用到以下公式。

（1）

證明：根據(jù)分配律，

上式的含義是：如果兩個(gè)乘積項(xiàng)，其中一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子恰是另一個(gè)乘積項(xiàng)的補(bǔ)，則該乘積項(xiàng)中的這部分因子是多余的。

（2）

證明：

上式的含義是：如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)，其余部分相同，則可合并為公有因子。

（3）

證明：

上式的含義是：如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)（如A和），而這個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子（如B和C）都是第三乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三乘積項(xiàng)是多余的。

【例1?10】求證：

證明：

【例1?11】化簡(jiǎn)：

解：先求F的對(duì)偶式F′

再求F′的對(duì)偶式F

說(shuō)明：上述化簡(jiǎn)也可按分配律展開(kāi)為與或表達(dá)式，再加以化簡(jiǎn)。

【復(fù)習(xí)思考題】

1.10 邏輯代數(shù)中的“1”和“0”與數(shù)學(xué)代數(shù)中的“1”和“0”有否區(qū)別？

1.11 邏輯代數(shù)中的邏輯乘與數(shù)學(xué)代數(shù)中的乘法有否區(qū)別？

1.12 邏輯代數(shù)中的邏輯加與數(shù)學(xué)代數(shù)中的加法有否區(qū)別？

1.13 多種邏輯運(yùn)算組合在一起時(shí)，其運(yùn)算次序有什么規(guī)則？