1.2 數制與編碼

1.2.1 二進制數和十六進制數

數制即計數進位制。人們習慣于用十進制數，但有些場合也用其他進制數，如時間計數時，分秒的進位用60，即六十進制。在數字電路和計算機中，通常采用二進制數和十六進制數。

1.十進制數（Decimal Number）

主要特點如下。

①基數是10。有10個數碼（數符）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

②進位規則是“逢十進一”。

所謂基數，是指計數制中所用到數碼的個數。如十進制共有0～9十個數碼，基數是10，進位規則是“逢十進一”。當基數為M時，便是“逢M進一”。在進位計數制中常用“基數”來區別不同的進位數。

十進制整數，其數值可表達為

[N]₁₀中的下標10表示數N是十進制數，十進制數也可用[N]_D表示。更多情況下，下標10或D可省略不標。

10i-1、10i-2、…、101、100稱為十進制數各數位的權。

例如，1234=1×103+2×102+3×101+4×100

2.二進制數（Binary Number）

主要特點如下。

①基數是2。只有兩個數碼：0和1。

②進位規則是“逢二進一”。

二進制整數，其數值可表達為

[N]₂中的下標2表示數N是二進制數，二進制數也可用N B表示，尾綴B一般不能省略。

2i-1、2i-2、…、21、20稱為二進制數各數位的權。

例如，10101011 B=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=171

為什么要在數字電路和計算機中采用二進制數呢？

①二進制數只有兩個數碼0和1，可以代表兩個不同的穩定狀態，如燈泡的亮和暗、繼電器的合和開、信號的有和無、電平的高和低、晶體管的飽和導通和截止。因此，可用電路來實現兩種狀態。

②二進制基本運算規則簡單，操作方便。

但是二進制數也有其缺點，數值較大時，位數過多，不便于書寫和識別。因此，在數字系統中又常用十六進制數來表示二進制數。

3.十六進制數（Hexadecimal Number）

主要特點如下。

①基數是16。有16個數碼：0、1、…、9、A、B、C、D、E、F。其中A、B、C、D、E、F分別代表10、11、12、13、14、15。

②進位規則是“逢十六進一”。

十六進制整數，其數值可表達為

[N]₁₆中的下標16表示數N是十六進制數，十六進制數也可用N H表示，尾綴H一般不能省略。

16i-1、16i-2、…、161、160稱為十六進制數各位的權。

例如，AB H=10×161+11×160=160+11=171

十六進制數與二進制數相比，大大縮小了位數，縮短了字長。一個4位二進制數只需要用1位十六進制數表示，一個8位二進制數只需用兩位十六進制數表示，轉換極其方便，例如，上例中AB H=10101011 B=171。

十六進制數、二進制數、十進制數對應關系表如表1-1所示。

需要指出的是，除二進制數、十六進制數外，早期數字系統中還推出過八進制數，現早已淘汰不用。

1.2.2 不同進制數間相互轉換

1.二進制數、十六進制數轉換為十進制數

二進制數、十六進制數轉換為十進制數只需按式（1-2）、式（1-3）展開相加即可。為了便于快速轉換，讀者應熟記二進制數和十六進制數部分常用位權（如表1-2所示），對進一步學習數字電路后續內容大有幫助。

2.十進制整數轉換為二進制數

十進制整數轉換為二進制數用“除2取余法”。即用2依次去除十進制整數及除后所得的商，直到商為0止，并依次記下除2時所得余數，第一個余數是轉換成二進制數的最低位，最后一個余數是最高位。

【例1-1】將十進制數41轉換為二進制數。

解：

因此，41=101001B

3.十進制整數轉換為十六進制數

十進制整數轉換為十六進制數用“除16取余法”，方法與“除2取余法”相同。

【例1?2】將十進制數8125轉換為十六進制數。

解：

因此，8125=1FBD H

4.二進制數與十六進制數相互轉換

前述4位二進制數與1位十六進制數有一一對應關系，如表1-1所示。相互轉換時，只要用相應的數值代換即可。二進制數整數轉換為十六進制數時，應從低位開始自右向左每4位一組，最后不足4位用零補足。

【例1?3】

【例1?4】

1.2.3 二進制數加減運算

1.二進制數加法運算

運算規則：①0+0=0

②0+1=1+0=1

③1+1=10，向高位進位1

運算方法：兩個二進制數相加時，先將相同權位對齊，然后按運算規則從低到高逐位相加，若低位有進位，則必須同時加入。

【例1?5】計算10100101 B+11000011 B

解：

因此，10100101 B+11000011 B=101101000 B

2.二進制數減法運算

運算規則：①0-0=0

②1-0=1

③1-1=0

④0-1=1，向高位借位1

運算方法：兩個二進制數相減時，先將相同權位對齊，然后按運算規則從低到高逐位相減。不夠減時可向高位借位，借1當2。

【例1?6】計算10100101 B-11000011 B

解：

因此，10100101 B -11000011 B =11100010 B（借位1）

讀者可能感到奇怪的是，二進制數減法怎么會出現差值比被減數和減數還要大的現象？在數字電路和計算機中，無符號二進制數減法可無條件向高位借位，不出現負數（二進制負數另有表達方法，不在本書討論范圍）。實際上該減法運算是110100101 B-11000011 B。

3.二進制數移位

二進制數移位可分為左移和右移。左移時，若低位移進位為0，相當于該二進制數乘2；右移時，若高位移進位為0，移出位作廢，相當于該二進制數除以2。

例如，1010 B左移后變為10100 B，10100 B=1010 B×2；1010 B右移后變為0101 B，0101 B=1010 B/2。

1.2.4 BCD碼（Binary Coded Decimal）

人們習慣上是用十進制數，而數字系統必須用二進制數分析處理，這就產生了二-十進制代碼，也稱為BCD碼。BCD碼種類較多，有8421碼、2421碼和余3碼等，其中8421 BCD碼最為常用。8421 BCD碼用[N]_8421BCD表示，常簡化為[N]_BCD。

1.編碼方法

BCD碼是十進制數，逢十進一，只是數符0～9用4位二進制碼0000～1001表示而已。8421 BCD碼每4位以內按二進制進位；4位與4位之間按十進制進位。其與十進制數之間的對應關系如表1-3所示。

但是4位二進制數可有16種狀態，其中1010、1011、1100、1101、1110和1111六種狀態舍去不用，且不允許出現，這6種數碼稱為非法碼或冗余碼。

2.轉換關系

（1）BCD碼與十進制數相互轉換

由表1-3可知，十進制數與8421 BCD碼轉換十分簡單，只要把數符0～9與0000～1001對應互換就行了。

【例1?7】

【例1?8】

（2）BCD碼與二進制數相互轉換

8421 BCD碼與二進制數之間不能直接轉換，通常需先轉換為十進制數，然后再轉換。

【例1?9】將二進制數01000011B轉換為8421 BCD碼。

解：01000011B=67=[01100111]_BCD

需要指出的是，決不能把[01100111]_BCD誤認為01100111 B，二進制碼01100111 B的值為103，而[01100111]_BCD的值為67。顯然，兩者是不一樣的。

【復習思考題】

1.5 為什么要在數字系統中采用二進制數？

1.6 二進制數有什么缺點？如何改善？

1.7 二進制數減法，為什么有時差值會大于被減數？

1.8 什么叫BCD碼？為什么在數字系統中要引入BCD碼？

1.9 BCD碼與二進制碼有否區別？如何轉換？