2.1.2 振蕩器——范德波爾方程電路

振蕩是自然界普遍存在的一種運動形式，力學、聲學、電工學、光學、微觀粒子學中普遍存在著各種各樣的振蕩，對其深入研究具有理論意義與應用價值。范德波爾方程電路研究非線性電路的極限環，它對應電子學中的各種自激振蕩電路，并以二階電路為例進行研究。從電子學一個世紀的發展歷史來看，范德波爾方程電路是最早遇到的能夠產生混沌的電路，范德波爾是第一個遇到混沌電路問題的科學家。當時范德波爾研究的是三相復振蕩器，并且進行振蕩電路實驗研究。當他更換振蕩頻率時，在耳機中聽到不規則的振蕩聲音，這正是混沌聲音。當時的范德波爾把電路中的混沌現象理解為噪聲，暫時沒有消除的電路設計缺陷。正如19世紀與20世紀之交的混沌研究鼻祖龐加萊最早發現混沌并且寫出了混沌的公式，卻因為沒有混沌意識而喪失了獲得一個重要諾貝爾獎的機會一樣，范德波爾再一次制造了這樣的一個遺憾。

描述振蕩電路的微分方程是范德波爾方程，它是非線性微分方程，在21世紀20年代研究電子管RLC電路時得到。與線性微分方程相比，非線性微分方程的解有兩個新結果：一是能夠產生穩定性極限環；二是能夠產生混沌。本節將討論穩定性極限環，提及如何由穩定性極限環演變成混沌。由RLC的電壓電流關系容易導出所需微分方程，只要考慮到放大電路的限幅非線性，就能得到范德波爾非線性微分電路方程[4,6,11,12,18]?，F在教科書中的多數振蕩器電路都是這樣的非線性電路，其本質就是放大器的限幅非線性。

現在的范德波爾方程是用晶體管為模型推導出來的。范德波爾方程最早提出于1926年前后，那還是電子管時代的初期。電子管柵極電壓-板極電流關系曲線與晶體管基極電壓-集電極電流關系曲線相似，柵極電壓-板極電流關系用公式[12]表示如下

電子管范德波爾電路如圖2.13所示。

作為對比，晶體管基極電壓-集電極電流關系曲線如下：

式中，iE表示發射極電流；IS表示飽和電流；k=1.38×10-28J/K；q=1.60×10-19C，常溫下T≈300K，，它形成非線性放大器S形放大曲線截止區附近的彎曲部分。與晶體管電路相同，當iE電流繼續增加時，受極板電源電壓限制，曲線漸趨平緩，形成非線性放大器S形放大曲線飽和區附近的彎曲部分，進而可以用三次多項式代替，最終得到范德波爾方程，這正是歷史上范德波爾方程的產生背景。同樣分析場效應晶體管非線性放大器的S形放大特性曲線，也能得到范德波爾方程。

一元二次微分形式的范德波爾方程形式是

二元一次微分形式的范德波爾方程形式是

一元二次微分形式與二元一次微分形式的范德波爾方程電路分別如圖2.14和圖2.15所示。

一元二次微分形式與二元一次微分形式的范德波爾方程電路EWB軟件仿真結果分別如圖2.16和圖2.17所示。

范德波爾方程具有很多奇特的結果，研究成果頗多，例如受迫范德波爾方程

能夠產生混沌，設計電路與運行結果如圖2.18和圖2.19所示，其中圖2.18是相圖，圖2.19是波形圖。