2.1.1 放大器——杜芬方程電路

經典電子電路在某種意義上分為放大器電路與振蕩器電路，這是人類信息學的發展歷史賦予電子學的光榮使命。20世紀20年代，范德波爾、杜芬、李納德三人進行了電子學基礎理論開創性的研究[12]，目標是進行電子學基礎的數學嚴格性證明，并以R、L、C線性電路元件作為基礎元件建立數學模型。當時出現的真空電子管非線性電路元件能夠解決電子學的技術基礎問題，但是當務之急是從理論上證明極限環存在定理問題，所以三人的研究工作都涉及三次型非線性的數學問題，因此混沌問題的涉及無論是理論上還是技術上都是不可避免的事情了。本節將討論杜芬方程的混沌問題，主要是杜芬混沌電路的實現[18]，還附帶討論杜芬方程中的美學問題。

實現杜芬方程的電路原理圖，如圖2.1所示。杜芬方程的電子學歷史背景是電子管，集成電路是20世紀60年代的事情，這里直接給出由集成電路運算放大器構成的杜芬方程電路。

首先進行電路設計軟件EWB電路仿真，按照圖2.1搭建電路并設定參數，然后按照圖2.2連接仿真測試電路，得到的EWB軟件仿真相圖如圖2.3所示。其中仿真信號源的信號是正弦波，頻率為314Hz，振幅為2.2V。

杜芬方程動態電路狀態方程的一元二次與二元一次形式分別為

式（2.1）的表述風格不是電子學中常用的表述風格，而是典型的數學表述風格，稱為歸一化微分方程。由于沒有物理量單位與物理量量綱，電子學技術工作者不太喜歡這種風格，喜歡帶物理量綱的風格。

從電子學的角度來看，式（2.1）的等號右端是正弦波電壓信號源的電壓變化物理量，與放大器的輸入端連接，等號左端的x是放大器輸出端放大后的電壓變化物理量。在電子學設計者看來，這個放大電路在等號左邊應該只有一項-bx，但卻多出來了ax3，說明這個電路是非線性的。多出來x的一階微分與二階微分，說明這個放大器有一次響應與二次響應，形成放大器輸出的相位改變與應激振蕩。這些問題正是電子學初創時期面臨的重要問題。

本章內容以電路設計為主，也給出簡單的電路分析。電路設計以EWB軟件電路仿真與物理電路實驗為基礎，電路分析用VB數值仿真作為工具。

VB仿真是對于式（2.2）的仿真，具體程序編寫的過程參見第5章5.1節。仿真輸出相圖如圖2.4所示，其中橫坐標是電壓物理量x，縱坐標是電壓量y。由圖2.4可見該電路是混沌的，圖2.4是常見的混沌圖形。

VB仿真波形輸出如圖2.5所示，三條對應的曲線分別是電壓x、電壓y與外加正弦信號源電壓Acost。

本章不深入討論美學問題，但是這一節是本章的一個特例，介紹杜芬方程的美學形態。

電路其他輸出形式包括相圖、波形與相圖混合圖形、龐加萊截面圖等。電路輸出波形圖2.5還沒有藝術性，但下面要從本圖開始進行藝術分析。選取圖2.5中的y波形圖，展開成很長的單曲線，將這條很長的單曲線按一定的長度剪開并疊放，如圖2.6和圖2.7所示，已經具有優美的藝術圖形特點了。

杜芬方程解的相圖如圖2.8所示，這是經過局部加工的，產生圖2.8的公式是

圖2.8中的橫坐標是cost，縱坐標是y。

波形圖與相圖混合后如圖2.9所示，將其傾斜后如圖2.10所示，這是西方美術界波普藝術家賽·托姆布雷的美術作品的風格與來源。

圖2.11所示為杜芬方程龐加萊截面圖，圖2.12是圖2.11的12個截面［具體做法是將式（2.3）的余弦周期360°分成12份分別作龐加萊截面］，它們具有愛歇爾的美術風格并且有所超越。圖2.12產生了一個藝術造型，好像一個滑稽小動物翻筋斗，經過360°的翻筋斗，圖形旋轉360°，相圖旋轉720°。請讀者細心看，因為這是藝術欣賞，不再詳細說明。