1.3.2　基爾霍夫電流定律

KCL及其推廣

基爾霍夫電流定律（KCL）描述支路電流的關系，文字表述如下。

在集總參數電路中，任一時刻，對任一節點，流入（或流出）該節點的所有支路電流的代數和恒等于零。

數學表達式為

∑ik=0　（1-8）

KCL方程涉及各支路電流的代數和，因此除規定各支路電流的參考方向外，還應規定正方向。若規定流出節點的電流取正，則流入節點的電流取負；若規定流入節點的電流取正，則流出節點的電流取負。

例1-3 已知某節點所連各支路電流的參考方向如圖1-8所示，列寫該節點的KCL方程。

圖1-8 例1-3圖

解：設流入節點的電流取正，流出節點的電流取負，則該節點KCL方程為

i1+i2?i3?i4+i5?i6=0　（1-3-1）

式（1-3-1）可改寫為

i1+i2+i5=i3+i4+i6　（1-3-2）

式（1-3-2）表明，流出節點的支路電流等于流入該節點的支路電流。因此，KCL也可理解為，對于任一集總參數電路，在任一時刻，對任一節點，流出該節點的支路電流恒等于流入該節點的支路電流，數學表達式為

∑i_I=∑i_O

例1-4 已知各支路電流參考方向如圖1-9所示，列寫各節點的KCL方程。

圖1-9 例1-4圖

解：圖1-9中共4個節點，設各支路電流均取流入節點為正，流出節點為負。

對節點①列寫KCL方程：i1?i2?i6=0。

對節點②列寫KCL方程：i2?i3?i4=0。

對節點③列寫KCL方程：i3?i5+i6=0。

對節點④列寫KCL方程：?i1+i4+i5=0。

將例1-4中節點①、節點②和節點③的KCL方程相加可得方程i1?i4?i5=0，與節點④的KCL方程相同。事實上，將例1-4中任意3個節點的KCL方程相加均可得第4個節點的KCL方程。由此可知，上述4個KCL方程中只有3個方程是彼此獨立的。可以證明，對于一個含有n個節點的電路，其獨立的KCL方程數為(n?1)。對電路中的獨立節點列寫的KCL方程彼此獨立。

KCL不僅適用于節點，還可以推廣到電路中任一閉合面，即集總參數電路中任一閉合面相交的所有支路電流的代數和等于零。閉合面又稱為廣義節點或超節點，電流由面內穿出閉合面流向面外稱為流出，反之稱為流入。

例1-5 圖1-10中虛線為電路中的一個閉合面，試證明：iA+iB+iC=0。

證明：由1、2、3支路構成的電路為閉合面，各支路電流參考方向及節點編號分別如圖1-11所示。

圖1-10 例1-5圖

圖1-11 例1-5解圖

設流入節點取正，流出節點取負，分別對節點①、節點②和節點③列寫KCL方程

iA=i1?i3

iB=i2?i1

iC=i3?i2

將3個方程的等號左邊和右邊分別相加可得

iA+iB+iC=0

即閉合面相交的所有支路電流的代數和等于零。