思索的三部曲（猜數游戲）

同學們遇到了一個難題，往往會想到頭昏腦脹，結果還是一無所獲。等到在“題解”一類的書中或同學的練習簿里看到了它的解法，好像跑得滿頭大汗時吃了一杯冷飲，感覺著又痛快又驚異，不知不覺地會發出這樣的疑問：“他怎樣想出來的？”這疑問的答案，不要說從演式中找不出來，就是那些聰明的懂得它的解法的人也不會告訴你。他們并不是故意在賣關子，實在是無從說起的緣故。本來，思索一個問題的方法，不是可以抽象地、概括地用言語表達出來的；必須要經過不斷地學習和實際的練習，然后才能逐漸的得到。因此我們不能認為學會了一個問題的做法；便算盡了學習的能事，最要緊的還是要學會思索問題的方法，養成良好的思索習慣。

教了二十多年數學，“題目要怎樣去想？”這個問題，常常被人問到，每次都苦于無從說起，就是說也不會十分徹底。

在這當兒，我只好舉出實例來作答復。下面的一個小小的猜數游戲，就是一個很好的實例。讀者看了之后，對于思索數學問題應有怎樣的過程，也許會知道一個大概。

記得在很多年以前，看見同學們玩著一種猜數的游戲。方法是你隨便寫下一個多位的整數，把這數中各位的數字加起來，從原數中減去這加得的和，然后在所得的差中留下任何一位數字，把其余各位數字隨便顛倒地報告出來，他就能立刻猜到你留下的是哪一位數字。但遇到0是例外，不要留下，也不必報告出來。要說得明白一些，當然必須舉一個例子。假定你寫下的是65271，各位數字加起來，得21，相減得65250，留下2，報告出來的三位數字是6，5，5，他立刻會猜出你留下的數字是2。

我最初看到了，覺得很奇妙，于是開始樣想：“根本不知道原數，單靠著報告的6，5，5三位數字，怎樣會立刻猜出這留下的是2呢？要解決這一個問題，開頭好像無從著手，但是一注意到報告的數字可以隨便顛倒，就知道猜的方法同實際的數無關，只同各位數字有關—十位的5，實際的數是50，數字是5—；這是第一個關鍵，再注意到0可以不必報告，可見從報告的數字要猜出留下的數字來，只能用加或減的基本算法，絕對不會用到乘或除；因為用0做加數或減數是不發生影響的，所以盡可不必報告，但是乘除就完全兩樣了，這是第二個關鍵。于是任意假定各數，來作實地試驗。先用前例的65271，再用55437，9889，365028，47965等分別做原數，如法炮制，各減去數字的和，都留下任意的一位，把其余各位——算是報告的——先用加法算出和數，連同留下的一位數字，列下一張表。

那報告出來的各位數字的和，同留下的數字有什么關系呢？很容易發現16+2=18，13+5=18，19+8=27，12+6=18，18+9=27，…它們的和18，27，…都是9的倍數。因此知道猜法的秘訣原來是這樣：“把報告的各位數字加得一個和數，在9的倍數中選出一個比那和數略大的，相減就得；但和數剛正是9的倍數時，那么留下的數字就是9。”

上述游戲的謎是給打破了，不過這是從事實上觀察得來的，只能說是應該要如此，究竟為什么要如此，這里還須作一個明確的回答。

就最初的例子考察，65271=60000+5000+200+70+1，根據倍數的原則：9的倍數的任何倍仍是9的倍數；9的倍數同9的倍數的和仍是9的倍數，可得

移項得65271-21=9的倍數，即65250=9的倍數。根據算術中的質因數檢驗法，知道65250既是9的倍數，那么各位數字的和也是9的倍數，即6+5+2+5=9的倍數。于是前舉猜法的原理就不難徹底明白了。

這個數學游戲的思索過程是怎樣的呢？第一步是要認清問題的關鍵，第二步是要由“知其然”而進到“知其所以然”，把它列舉出來，好像是一套三部曲：

（一）想：這是怎么一回事？

（二）想：這是怎樣做法的？

（三）想：為什么這樣做就成功這么一回事？