1.3　線性時不變系統(tǒng)性質(zhì)

線性時不變系統(tǒng)性質(zhì)就是卷積運(yùn)算的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，可以簡化某些系統(tǒng)的分析與處理。

1．交換律

卷積的運(yùn)算與參與卷積運(yùn)算的兩個序列的次序無關(guān)，即

通過簡單的變量代換可以證明式（1.50）成立。

令k=n-m，得

可見，卷積運(yùn)算滿足交換律，改變卷積的運(yùn)算次序不影響卷積運(yùn)算結(jié)果。因此，系統(tǒng)的輸入和單位沖激響應(yīng)可以交換次序，即將表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)作為輸入信號，真實(shí)的輸入信號用來表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不變，如圖1-39所示。

2．結(jié)合律

利用結(jié)合律可以簡化多個級聯(lián)的線性時不變系統(tǒng)。所謂的系統(tǒng)級聯(lián)，就是指第一個系統(tǒng)的輸出是第二個系統(tǒng)的輸入，第二個系統(tǒng)的輸出是第三個系統(tǒng)的輸入，依此類推，各個系統(tǒng)尾首相接，最后一個系統(tǒng)的輸出就是整個系統(tǒng)的輸出。

兩個線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)，可以等效為一個線性時不變系統(tǒng)，等效后的線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為各個級聯(lián)子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積和，如圖1-40所示。

在數(shù)學(xué)上表示為

因?yàn)榫矸e運(yùn)算具有交換率，因此線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)后的單位沖激響應(yīng)與級聯(lián)的次序無關(guān)。在圖1-39中也清楚地反映了這一點(diǎn)。

3．分配律

卷積運(yùn)算符合分配律。利用分配律，可以簡化多個系統(tǒng)并聯(lián)的線性時不變系統(tǒng)。所謂系統(tǒng)并聯(lián)，就是指各系統(tǒng)具有相同的輸入，而整個系統(tǒng)的輸出是各個系統(tǒng)的輸出之和。

兩個線性時不變系統(tǒng)并聯(lián)，可以等效為一個線性時不變系統(tǒng)，等效后的線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為各并聯(lián)子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的代數(shù)和，如圖1-41所示。

圖1-41在數(shù)學(xué)上表示為

例1-29　試確定圖1-42和圖1-43所表示的兩個級聯(lián)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)。

解：

（1）累加器系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h₁（n）=u（n）

向后差分系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為h₂（n）=δ（n）-δ（n-1）

由累加器系統(tǒng)和向后差分系統(tǒng)構(gòu)成的級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

h（n）=h₁（n）?h₂（n）=u（n）?[δ（n）-δ（n-1）]=u（n）-u（n-1）=δ（n）

可見，累加器系統(tǒng)和向后差分系統(tǒng)級聯(lián)后等效為一個恒等系統(tǒng)，向后差分系統(tǒng)實(shí)際上是反演了累加器的效果。由于滿足

則說明h₁（n）和h₂（n）所代表的兩個LTI系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。因此說明向后差分系統(tǒng)和累加器系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。

（2）單位延時系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h₁（n）=δ（n-1）

向前差分系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為h₂（n）=δ（n+1）-δ（n）

由單位延時系統(tǒng)和向前差分系統(tǒng)構(gòu)成的級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

h（n）=h₁（n）?h₂（n）=δ（n-1）?[δ（n+1）-δ（n）]=δ（n）-δ（n-1）

由此可見，單位延時系統(tǒng)和向前差分系統(tǒng)級聯(lián)后等效為一個向后差分系統(tǒng)。

由因果性的概念可知，向前差分系統(tǒng)是一個非因果的系統(tǒng)，而向后差分系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，將向前差分系統(tǒng)級聯(lián)一個單位延時系統(tǒng)，就可以將其轉(zhuǎn)化為因果系統(tǒng)。通常情況下，單位沖激響應(yīng)為有限長的非因果系統(tǒng)都可以通過與一個足夠長的延時系統(tǒng)的級聯(lián)轉(zhuǎn)化為因果系統(tǒng)。