1.3　線性時不變系統性質

線性時不變系統性質就是卷積運算的性質。利用這些性質，可以簡化某些系統的分析與處理。

1．交換律

卷積的運算與參與卷積運算的兩個序列的次序無關，即

通過簡單的變量代換可以證明式（1.50）成立。

令k=n-m，得

可見，卷積運算滿足交換律，改變卷積的運算次序不影響卷積運算結果。因此，系統的輸入和單位沖激響應可以交換次序，即將表示系統的單位沖激響應作為輸入信號，真實的輸入信號用來表示系統的單位沖激響應，系統的輸出響應不變，如圖1-39所示。

2．結合律

利用結合律可以簡化多個級聯的線性時不變系統。所謂的系統級聯，就是指第一個系統的輸出是第二個系統的輸入，第二個系統的輸出是第三個系統的輸入，依此類推，各個系統尾首相接，最后一個系統的輸出就是整個系統的輸出。

兩個線性時不變系統級聯，可以等效為一個線性時不變系統，等效后的線性時不變系統的單位沖激響應為各個級聯子系統的單位沖激響應的卷積和，如圖1-40所示。

在數學上表示為

因為卷積運算具有交換率，因此線性時不變系統級聯后的單位沖激響應與級聯的次序無關。在圖1-39中也清楚地反映了這一點。

3．分配律

卷積運算符合分配律。利用分配律，可以簡化多個系統并聯的線性時不變系統。所謂系統并聯，就是指各系統具有相同的輸入，而整個系統的輸出是各個系統的輸出之和。

兩個線性時不變系統并聯，可以等效為一個線性時不變系統，等效后的線性時不變系統的單位沖激響應為各并聯子系統的單位沖激響應的代數和，如圖1-41所示。

圖1-41在數學上表示為

例1-29　試確定圖1-42和圖1-43所表示的兩個級聯系統的等效系統。

解：

（1）累加器系統的單位沖激響應為h₁（n）=u（n）

向后差分系統單位沖激響應為h₂（n）=δ（n）-δ（n-1）

由累加器系統和向后差分系統構成的級聯系統的單位沖激響應為

h（n）=h₁（n）?h₂（n）=u（n）?[δ（n）-δ（n-1）]=u（n）-u（n-1）=δ（n）

可見，累加器系統和向后差分系統級聯后等效為一個恒等系統，向后差分系統實際上是反演了累加器的效果。由于滿足

則說明h₁（n）和h₂（n）所代表的兩個LTI系統互為逆系統。因此說明向后差分系統和累加器系統互為逆系統。

（2）單位延時系統的單位沖激響應為h₁（n）=δ（n-1）

向前差分系統單位沖激響應為h₂（n）=δ（n+1）-δ（n）

由單位延時系統和向前差分系統構成的級聯系統的單位沖激響應為

h（n）=h₁（n）?h₂（n）=δ（n-1）?[δ（n+1）-δ（n）]=δ（n）-δ（n-1）

由此可見，單位延時系統和向前差分系統級聯后等效為一個向后差分系統。

由因果性的概念可知，向前差分系統是一個非因果的系統，而向后差分系統是一個因果系統，將向前差分系統級聯一個單位延時系統，就可以將其轉化為因果系統。通常情況下，單位沖激響應為有限長的非因果系統都可以通過與一個足夠長的延時系統的級聯轉化為因果系統。