第一章
論五種正立體形

我已經在第二卷中討論過，正平面圖形是如何鑲嵌成立體形的。在那里，我曾談到由平面圖形所組成的五種正立體形，并且說明了為什么數目是五，還解釋了柏拉圖主義者為什么要稱它們為宇宙形體（figures），以及每種立體因何種屬性而對應著何種元素。在本卷的開篇，我必須再次討論這些立體形，而且只是就其本身來談，而不考慮平面，對于天體的和諧而言，這已經足夠了。讀者可以在《哥白尼天文學概要》（Epitome of Astronomy）第二編[1]第四卷中找到其余的討論。

根據《宇宙的奧秘》，我想在這里簡要解釋一下宇宙中這五種正立體形的次序，在它們當中，三種是初級形體[2]，兩種是次級形體[3]：（1）立方體，它位于最外層，體積也最大，因為它是首先產生的，并且從天生就具有的形式來看，它有著整體的性質；接下來是（2）四面體，它好像是從立方體上切割下來的一個部分，不過就像立方體一樣，它也有三線立體角，從而也是初級形體；在四面體內部是（3）十二面體，即初級形體中的最后一種，它好像是由立方體的某些部分和四面體的類似部分（不規則四面體）所組成的一個立體，它蓋住了里面的立方體；接下來是（4）二十面體，根據相似性，它是次級形體中的最后一種，有著多于三線的立體角；最后是位于最內層的（5）八面體，與立方體類似，它是次級形體的第一種。正如立方體因外接而占據最外層的位置，八面體也因內接而占據最內層的位置。

然而，在這些立體形中存在著兩組值得注意的不同等級之間的結合（wedding）：雄性一方是初級形體中的立方體和十二面體，雌性一方則是次級形體中的八面體和二十面體，除此以外，還要加上一個獨身者或雌雄同體即四面體，因為它可以內接于自身，就像雌性立體可以內接于雄性立體，仿佛隸屬于它一樣。雌性立體所具有的象征與雄性象征相反，前者是面，后者是角。[4]此外，正像四面體是雄性的正方體的一部分，宛如其內臟和肋骨一樣，從另一種方式來看，[5]雌性的八面體也是四面體的一部分和體內成分：因此，四面體是該組結合的中介。

這些配偶或家庭之間的最大區別是：立方體配偶之間的比例是有理的，因為四面體是立方體的三分之一[6]，八面體是四面體的二分之一和立方體的六分之一；但十二面體的結合的比例[7]是無理的[不可表達的 （ineffabilis）]，不過是神圣的[8]。

由于這兩個詞連在一起使用，所以請讀者注意它們的含義。與神學或神圣事物中的情形不同，“不可表達”在這里并不表示高貴，而是指一種較為低等的情形。正如我在第一卷中所說，幾何學中存在著許多由于自身的無理性而無法涉足神圣比例的無理數。至于神圣比例（毋寧說是神圣分割）指的是什么，你可以參閱第一卷的內容。因為一般比例需要有四項，連比例需要有三項，而神圣比例除去比例本身的性質以外，還要求各項之間存在著一種特定的關系，即兩個小項作為部分構成整個大項。因此，盡管十二面體的結合比例是無理的，但這反而成就了它，因為它的無理性接近了神。這種結合還包括了星狀立體形，它是由正十二面體的五個面向外延展，直至匯聚到一點產生的。[9]讀者可以參見第二卷的相關內容。[10]

最后，我們必須關注這些正立體形的外接球與內切球的半徑之比：對于四面體而言，這個值是有理的，它等于100000 : 33333或3 : 1；對于立方體的結合[11]而言，該值是無理的，但內切球半徑的平方卻是有理的，它等于（外接球）半徑平方的三分之一的平方根，即100000 : 57735；對于十二面體的結合[12]則顯然是無理的[13]，它大約等于100000 : 79465；對于星狀立體形，該值等于100000 : 52573，即二十邊形邊長的一半或兩半徑間距的一半。

[1]其實應為第一編。

[2]初級形體是那些立體角由三條線所組成的圖形。

[3]次級形體是那些立體角由多于三條線所組成的圖形。

[4]顯然，雄性象征是角或頂點，雌性象征是面。如圖所示，雄性多面體的頂點數多于面數，雌性多面體的面數多于頂點數，而雌雄同體的多面體的頂點數和面數一樣多。在每一組結合中，雄性成員的頂點數等于雌性成員的面數，所以當雌性形體內接于雄性形體時，頂點和面恰好相對。雌雄同體的四面體則可以內接于另一個四面體。還有一點很重要，那就是每一組結合中的兩個多面體的外接球與內接球的半徑之比相等。

[5]四面體的各邊中點形成了八面體的各頂點。

[6]四面體的體積是立方體的三分之一，下同。

[7]可內接于十二面體的二十面體與十二面體的體積之比。

[8]為黃金分割比。參見《世界的和諧》，第一卷，定義26。

[9]開普勒認為星狀立體形僅僅是由正十二面體和正二十面體衍生出來的，而沒有把它算作另一種基本的正多面體。

[10]第二卷，命題26。

[11]立方體和八面體。每一組結合中的兩個多面體的內切球與外接球的半徑之比相等。

[12]十二面體和二十面體。

[13]其準確值等于。