自動控制基礎知識篇

第一章 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

第一節(jié) 拉氏變換

在動力裝置的運行過程中，工況總是經(jīng)常處于變動之中。控制系統(tǒng)是在變動中發(fā)揮調節(jié)作用的，此時整個系統(tǒng)和各個環(huán)節(jié)、各個信號都在變化。為了更準確地分析、了解和預測調節(jié)過程中出現(xiàn)的各種情況，必須研究整個系統(tǒng)的動態(tài)特性。自動控制系統(tǒng)的微分方程是在時域里描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型。對于低階的微分方程，可以直接求解微分方程得到系統(tǒng)輸出和輸入之間的時域表達式。但對于高階微分方程，在實數(shù)域內直接求解過于困難，甚至無法求解。因此，控制系統(tǒng)的數(shù)學模型還常常采用一種稱為傳遞函數(shù)的復域函數(shù)來描述。為了把實數(shù)模型轉換為復數(shù)模型，必須借助一種數(shù)學方法，即拉氏變換。

一、拉氏變換的定義

所謂拉氏變換是把時間函數(shù)變?yōu)閺妥兞康暮瘮?shù)。目的是通過函數(shù)變換，把復雜的微分方程變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)方程。然后把求得的復變函數(shù)的結果通過逆變換再變?yōu)闀r間函數(shù)，從而對系統(tǒng)進行直觀的分析研究。

設有一實數(shù)函數(shù)f(t)(t≥0)，而且積分（s是一個復變量）在s的某一域內收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為

F(s)稱為f(t)的拉氏變換或稱為象函數(shù)，記為

F(s)=L[f(t)]

f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或稱為原函數(shù)，記為

f(t)=L-1[F(s)]

二、常用函數(shù)的拉氏變換

1.階躍函數(shù)的拉氏變換

階躍函數(shù)的數(shù)學表達式為

把f(t)代入式（1-1），得

對于單位階躍函數(shù)1(t)，A=1，其拉氏變換函數(shù)為

2.線性函數(shù)的拉氏變換

線性函數(shù)的數(shù)學表達式為

把f(t)代入式（1-1），得

3.指數(shù)函數(shù)的拉氏變換

指數(shù)函數(shù)的數(shù)學表達式為

代入式（1-1），得

4.正弦函數(shù)的拉氏變換

正弦函數(shù)的數(shù)學表達式為

代入式（1-1），得

三、拉氏變換的性質

1.線性性質

若L[f₁(t)]=F₁(s)，L[f₂(t)]=F₂(s)，則

L[a₁f₁(t)+a₂f₂(t)]=a₁F₁(s)+a₂F₂(s)

式中，a₁、a₂為常數(shù)。

2.實位移性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

3.復位移性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

L[f(t)e-αt]=F(s+α)

4.微分性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

當f(t)和它的各階導數(shù)在初值t=0時都為零，則有

L[f(n)(t)]=snF(s)

5.積分性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

若∫f(t)dt|_t=0=0，則

同理可得

6.初值定理

若F(s)=L[f(t)]，則有

7.終值定理

若F(s)=L[f(t)]，則有

四、拉氏反變換

若f(t)=L-1[F(s)]，則拉氏反變換的定義為

這是復變函數(shù)的積分，一般很難直接計算。在工程上，常可將象函數(shù)用部分分式展開法展開成簡單分式，再求出F(s)的原函數(shù)f(t)。

象函數(shù)F(s)通常是復變量s的有理分式函數(shù)。即分母多項式的階次高于分子多項式的階次。F(s)的一般式為

上式中，a₀、a₁、a₂…a_n和b₀、b₁、b₂…b_m均為實數(shù)，m、n均為正數(shù)，而且m<n。下面分兩種情況，通過兩個例子介紹如何求解拉氏反變換。

1.A(s)=0無重根

例1：求的拉氏反變換。

解：該函數(shù)可分解成部分分式，即

為了確定常數(shù)K₁，式（1-2）兩邊同時乘以（s+3），得到

將s=-3代入，消去式（1-3）右邊的第二項，即可求得

K₁=-1

同理可求得

K₂=2

將K₁、K₂的值代入式（1-3），即可求出F(s)展開后的表達式

這樣F(s)的原函數(shù)為

f(t)=-e-3t+2e-4t

2.A(s)=0有重根

例2：求的原函數(shù)f(t)。

解：將F(s)展成部分分式為

要確定K₁，將上式兩邊同時乘以（s+4）2，得到

將s=-4代入，即可求得常數(shù)K₁=-5。

為了確定常數(shù)K₂，需將式（1-4）的兩邊對s進行微分，而且令s=-4，即

求得K₂的最終值為K₂=7，常數(shù)K₃可求得為K₃=-7。

于是F(s)展開后的表達式為

這樣可求得

f(t)=-5te-4t+7e-4t-7e-5t