自動控制基礎知識篇

第一章 控制系統的傳遞函數

第一節 拉氏變換

在動力裝置的運行過程中，工況總是經常處于變動之中。控制系統是在變動中發揮調節作用的，此時整個系統和各個環節、各個信號都在變化。為了更準確地分析、了解和預測調節過程中出現的各種情況，必須研究整個系統的動態特性。自動控制系統的微分方程是在時域里描述系統動態性能的數學模型。對于低階的微分方程，可以直接求解微分方程得到系統輸出和輸入之間的時域表達式。但對于高階微分方程，在實數域內直接求解過于困難，甚至無法求解。因此，控制系統的數學模型還常常采用一種稱為傳遞函數的復域函數來描述。為了把實數模型轉換為復數模型，必須借助一種數學方法，即拉氏變換。

一、拉氏變換的定義

所謂拉氏變換是把時間函數變為復變量的函數。目的是通過函數變換，把復雜的微分方程變為簡單的代數方程。然后把求得的復變函數的結果通過逆變換再變為時間函數，從而對系統進行直觀的分析研究。

設有一實數函數f(t)(t≥0)，而且積分（s是一個復變量）在s的某一域內收斂，則由此積分所確定的函數可寫為

F(s)稱為f(t)的拉氏變換或稱為象函數，記為

F(s)=L[f(t)]

f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或稱為原函數，記為

f(t)=L-1[F(s)]

二、常用函數的拉氏變換

1.階躍函數的拉氏變換

階躍函數的數學表達式為

把f(t)代入式（1-1），得

對于單位階躍函數1(t)，A=1，其拉氏變換函數為

2.線性函數的拉氏變換

線性函數的數學表達式為

把f(t)代入式（1-1），得

3.指數函數的拉氏變換

指數函數的數學表達式為

代入式（1-1），得

4.正弦函數的拉氏變換

正弦函數的數學表達式為

代入式（1-1），得

三、拉氏變換的性質

1.線性性質

若L[f₁(t)]=F₁(s)，L[f₂(t)]=F₂(s)，則

L[a₁f₁(t)+a₂f₂(t)]=a₁F₁(s)+a₂F₂(s)

式中，a₁、a₂為常數。

2.實位移性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

3.復位移性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

L[f(t)e-αt]=F(s+α)

4.微分性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

當f(t)和它的各階導數在初值t=0時都為零，則有

L[f(n)(t)]=snF(s)

5.積分性質

若F(s)=L[f(t)]，則有

若∫f(t)dt|_t=0=0，則

同理可得

6.初值定理

若F(s)=L[f(t)]，則有

7.終值定理

若F(s)=L[f(t)]，則有

四、拉氏反變換

若f(t)=L-1[F(s)]，則拉氏反變換的定義為

這是復變函數的積分，一般很難直接計算。在工程上，常可將象函數用部分分式展開法展開成簡單分式，再求出F(s)的原函數f(t)。

象函數F(s)通常是復變量s的有理分式函數。即分母多項式的階次高于分子多項式的階次。F(s)的一般式為

上式中，a₀、a₁、a₂…a_n和b₀、b₁、b₂…b_m均為實數，m、n均為正數，而且m<n。下面分兩種情況，通過兩個例子介紹如何求解拉氏反變換。

1.A(s)=0無重根

例1：求的拉氏反變換。

解：該函數可分解成部分分式，即

為了確定常數K₁，式（1-2）兩邊同時乘以（s+3），得到

將s=-3代入，消去式（1-3）右邊的第二項，即可求得

K₁=-1

同理可求得

K₂=2

將K₁、K₂的值代入式（1-3），即可求出F(s)展開后的表達式

這樣F(s)的原函數為

f(t)=-e-3t+2e-4t

2.A(s)=0有重根

例2：求的原函數f(t)。

解：將F(s)展成部分分式為

要確定K₁，將上式兩邊同時乘以（s+4）2，得到

將s=-4代入，即可求得常數K₁=-5。

為了確定常數K₂，需將式（1-4）的兩邊對s進行微分，而且令s=-4，即

求得K₂的最終值為K₂=7，常數K₃可求得為K₃=-7。

于是F(s)展開后的表達式為

這樣可求得

f(t)=-5te-4t+7e-4t-7e-5t