1.3 非線性控制理論與方法

汽車發動機系統是典型的機電液耦合系統，隨著基于模型的控制不斷深入，越來越多的控制方法被引入研究。為了更好地方便讀者理解，本節將后續涉及相關控制方法的基本理論做一些簡要概述。

1.3.1 反步法

反步法（Back-stepping）作為一種嚴格按照李雅普諾夫（Lyapunov）函數來推導控制律的控制器設計方法，可以得到在李雅普諾夫意義下的保證系統全局穩定的控制律。

考慮目標系統形如

式中，[η，ξ]T為系統狀態；u∈ R，為系統控制輸入；函數f: D→Rn和函數g:D→Rn在包含原點以及（f 0）=0的定義域D? Rn上是光滑可微的（或者某階導數存在即可），并且f和g均為已知函數。

目標便是設計出狀態反饋控制律來穩定原點（ξ=0，η=0）。

可以考慮將系統分解為方程（1-1a）和方程（1-1b）兩部分組成級聯系統，設方程（1-1a）可通過狀態反饋控制律ξ=?（η）及?（0）=0達到穩定，也就是說式（1-2）具有原點穩定性

假設已知Lyapunov函數V（η）是光滑正定的，同時滿足

式中，W（η）為正定。

按如下方式進行變換：首先將方程（1-1a）右邊兩項分別加減一項g（η）?（η），則目標系統化為

定義z為

這樣目標系統變為

定義，則目標系統的級聯形式為

這樣就與系統（1-1）所描述的目標系統的表達形式非常相似了。不同的是系統描述部分在輸入為零時在原點具有漸進穩定性，而這個特點同樣適用于的設計。為使整個系統穩定，選取

作為備選Lyapunov函數，得到

選擇

可得到

這樣，原點（η=0，z=0）是漸進穩定的。而?（0）=0，進而得到原點（η=0，ξ=0）也是漸進穩定的，將v、z、代入后得到狀態反饋控制律為

在所有假設都成立的情況下，并且V（η）是徑向無界的，則原點是全局漸進穩定的。進而得到下述定理：

定理1.1 考慮系統（1-1），設?（η）是方程（1-1a）的穩定狀態反饋控制律，且?（0）=0，對于某個正定函數W（η），V（η）是滿足方程（1-2）的Lyapunov函數。則狀態反饋控制律（1-8）可穩定系統（1-1）的原點，其中V（η）+[ξ-?（η）]2/2為系統的Lyapunov函數。此外，如果所有假設都全局成立，且V（η）徑向無界，則原點是全局漸進穩定的。

現在考察目標系統（1-1）更普遍的形式

式中，fa、ga均為光滑的。

如果在討論的區域內g（aη，ξ）≠0，設ua=f（aη，ξ）+ga（η，ξ）u，則輸入變為

這樣一來，方程（1-9b）簡化為積分器形式。因此，如果存在著一個穩定狀態反饋控制律?（η）及Lyapunov函數V（η），使方程（1-9a）滿足上述條件，則由定理及方程（1-10）可得到整個系統（1-9）的穩定狀態反饋控制律為

Lyapunov函數為

1.3.2 滑模控制

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）是一種非線性控制策略，由于其可根據系統當前的狀態不斷切換控制量，因此也稱變結構控制。該控制方法可實現在有限時間內將系統狀態驅動到滑動狀態后沿著預先設定的滑模面運動到平衡點的目的，系統的性能完全由滑模面決定，與被控對象參數和擾動無關。滑模控制器的設計思想為：設計一個控制器，將從任意一點出發的狀態軌線通過控制作用拉到滑模面上，然后沿著此滑模面滑動到原點。該運動過程分為兩個階段：

1）到達運動階段。系統由狀態空間任一點向滑模面趨近，目的是使系統盡快收斂到滑模面上。

2）滑模運動階段。系統在狀態空間里沿著滑模面上運動，此時控制的目的是保持在滑模面上。

為了使系統穩定并獲得一定的動態性，通過設計滑模面和到達段的控制律，可以直接設計系統性能。在滑模控制的設計中，也主要分為兩步：首先尋求合適的切換函數s（x），使系統的狀態軌跡到達滑模面上時具有滑動模態和期望的動態特性；然后設計滑模控制律u（x），令系統能夠在有限時間內到達滑模面，且一旦達到，就會沿著滑模面保持運動，滿足到達性和跟蹤性。

考慮二階系統

式中，h和g為未知非線性函數，且對任意x有g（x）≥g0＞0。

若狀態空間存在一個超平面，即所謂的滑模面s（x）=0，將狀態空間分成s＞0和s＜0兩部分，且s=0兩側的雙軌線都引向s=0。

設計滑模面為

選擇a1＞0以保證當t趨于無窮時，x（t）趨近于0。由于在滑模面上系統的運動受的控制，與h和g無關，因此收斂速度可通過a1的選擇控制。此時的設計問題就是設計如下形式的控制律把軌線切換并保持在滑模面s=0上。

式中，。

下面針對二階系統選取的滑模函數（1-14）進行控制器設計，變量s滿足方程

假設對于某個已知函數ρ（x），h和g滿足不等式

將作為方程的備選Lyapunov函數，有

取

式中，β（x）≥ρ（x）+β0，β0＞0，且

則

根據比較引理可知，軌線在有限時間內可到達滑模面s=0，且由上述不等式（1-21）可知，軌線一旦到達滑模面將不再離開。

由于滑動模態的設計，面對一定系統擾動或者變化，滑模控制具有較強的魯棒性能和抗干擾能力。但是系統在滑模面上實際運動時，由于慣性、切換滯后等因素會導致系統的軌跡不可能完全保持在面上，而是在附近來回抖動，這種高頻抖振現象的發生也是該控制方法的一大缺陷，帶來誤差大、能量消耗嚴重、對系統激起振蕩等有害問題的產生，因此如何消除抖振也是滑模控制器設計的難點。

1.3.3 反饋線性化

考慮單輸入系統

其中f和g在定義域D? Rn上足夠光滑，如果存在一個足夠光滑的函數h:D →R，使得系統

在區域D0? D上相對階為n，則系統（1-22）是可反饋線性化的。

這一結論的解釋如下：相對階為n的系統，其標準型可簡化為

因為

所以等式

在所討論的定義域內對于所有x和u都成立。取u=0，則上式可分解為兩個方程

方程（1-26a）等價于

方程（1-26b）等價于

令（hx）=T（1x），可以看出

h（x）滿足偏微分方程

其約束條件為

α和γ由下式給出

總之，當且僅當存在函數h（x），使系統（1-23）的相對階為n，或h滿足約束條件為式（1-30）的偏微分方程（1-29），則系統（1-22）是可反饋線性化的。

1.3.4 三步法

三步法也是一種基于模型的設計方法，主要用于系統的跟蹤控制問題，其設計思路來源于工程中常采用的控制結構（前饋加PID反饋控制），三步法的設計過程由三部分組成。出于不同的控制目的，分三步推導完成，同時其特定的設計過程使得推導簡單明了，所得控制律結構層次清晰。以常用的二階單輸入單輸出非線性仿射系統為例介紹其設計過程，考慮如下形式的非線性系統

式中，x1、x2、u分別為系統的狀態和輸入；y為系統的輸出，y=x1。

假設f1（x1）、f2（x）、g1（x）和g2（x）是在定義域D? R2內充分光滑的非線性函數，并且滿足g（1x）≠0和g（2x）≠0。我們的目標是設計一個反饋控制律u，使得輸出y漸近跟蹤一個參考信號y*，其中對于非常值參考y*（t），其導數直到對于t≥0都是有界的，且二階導是t的分段連續函數；信號y*、、可在線獲得。

與一階系統不同，二階系統在設計控制器之前，首先要重新整理系統模型，通過對輸出y求二階導數可以得到系統輸出與輸入之間的直接關系，即

其中x包含x1，x2，且=被部分代入，式（1-32）是非線性系統的一種新的模型描述形式，是用于三步法推導控制器的模型。為了使推導過程書寫簡便，記，g（1x1）g2（x）=:B（x）。具體步驟如下。

（1）穩態控制

假設系統的輸出達到穩態，即令=0和=0，可以得到系統即式（1-32）的穩態控制律為

這是一個類穩態控制，對比系統（1-31）可以看出，穩態控制主要反映了系統x2的本質動力學。

（2）參考動態前饋控制

如果參考值是變化的，將控制律u=us（x）+uf代入式（1-32），則系統可寫為

令=和=，則參考前饋為

可見，由于系統的階次提高，參考前饋所包含的參考動態信息也相應增加，同時前饋的增益與系統的狀態相關，表明系統參考值變化的影響不同。

（3）誤差反饋控制

反饋控制能夠進一步提高控制系統的控制性能，并提高對擾動和不確定性的魯棒性能。定義系統跟蹤誤差為e1:=y*-y，結合前兩步設計的結果，設待確定的反饋控制量是ue，那么閉環誤差系統能寫成

定義e2=，誤差系統重新整理為

式中，B（x）≠0。

對于串級非線性誤差系統（1-37），可以采用多種不同的設計方法，使誤差e1→0，系統漸近穩定，這里選擇Back-stepping方法確定控制律。首先將e2看成是e1子系統的虛擬控制輸入，對子系統e1定義李雅普諾夫函數為，對其求導可得

選擇如下簡單形式的虛擬控制輸入

式中，k1＞0。

對于，則有

此時V1負定，但事實上，，此時需要通過控制使得來保證e1系統的穩定。因此定義新誤差，那么上述方程組（1-40）就變為

如果誤差e3趨于零，則，那么e1子系統能夠漸近穩定。進一步，結合方程（1-39）、方程（1-37）以及e2=，可以得到誤差e3的方程為

定義第二個李雅普諾夫函數，并應用式（1-41a）和式（1-42），求導V2可得

為了保證V2負定，選擇控制律為如下形式

式中，k1＞0；k2＞0。

此時

式（1-45）表明誤差系統（1-37）是漸近穩定的。結合前面的推導結果，去掉中間變量e3、e3，將ue重新整理為

顯然，從結果可以看出，ue對應一個非線性PD控制器。其比例和微分環節的增益不是由k1、k2參數單一決定的固定增益，而是依賴于系統狀態。結合前面兩步的推導結果，即式（1-33）和式（1-35），可將總的控制律簡寫為

其中，

到此為止，二階非線性系統的三步法的推導過程完成，并且相應三部分的控制律也已確定，結合以上推導作如下幾點說明：

1）從uf和ue確定的過程來看，它們均是在前一步或是前兩步控制律被確定的基礎上推導的，這也就說明三步設計的順序不能顛倒。

2）最后的控制律由穩態控制、前饋控制和PD反饋控制共同構成，通過不同的設計方法得到的反饋控制律的形式可能不同，但鑒于PID控制器在工程實際中廣泛使用的背景，這里設計成PD結構的目的也是要與實際保持一致，從而便于工程實現。

3）為了避免增益的形式過于復雜不易于實現，可以采用虛擬標定（仿真模型離線標定控制器增益的方式）減少通過試驗標定獲取控制器參數的工作量。

4）除了反饋控制的增益是狀態依賴之外，參考前饋的增益也是隨著狀態的變化而變化的。這對運行工況復雜多變的系統而言，如果系統狀態信息均可獲得，則能夠極大地提高控制系統的魯棒性。