2.1　混沌理論

一般情況下，系統是由若干個客體組成，相互之間具有聯系和依賴性，并具有特定功能。它可以是自然科學中的一些物質，例如，人體和鐘表，也可以是各種組織，如學校。經濟系統的本質是非線性的，對于經濟系統的傳統研究大多假設它是線性的。之所以這樣做，是因為線性系統簡單且較容易分析?，F實中的經濟系統卻大多是非線性的，用線性分析范式來分析非線性系統的問題，會使分析結果與現實不符。采用非線性分析范式來分析非線性系統的問題能夠真實地揭示經濟系統的運行規律，可以更辯證地反映事物的本質，近年來成為解釋和分析經濟行為的主要工具。

2.1.1　動力系統的基礎理論

系統是指由一些相互聯系或相互依賴的若干客體組成的集合，具有特定功能的有機整體。系統可以是自然科學中的一些物質，也可以是各種社會事物或者組織。經濟系統的本質是非線性的，而經濟系統的傳統研究大多假設其是線性的。之所以這樣做，是因為線性系統簡單且較容易分析?，F實中的經濟系統大多是非線性的，采用線性的分析范式會導致分析結果的誤差隨著時間的演化變得越來越大。非線性動力學理論則可以部分避免線性范式的弊端，應用非線性理論研究經濟系統，可以更辯證地反映事物的本質，近年來成為解釋和分析經濟行為的主要工具。

1. 動力系統

動力系統（Dynamical System）是一個數學概念。物種繁衍、流體運動、經濟系統的發展演變等都是隨時間而演變，這些系統如果用一個數學模型來描述的話，可以表達為：φ_t：X→X，其中，X是所有客體的各種狀態構成的集合，φ_t表示X與時間t相關的動態變化規律。所以，動力系統可以描述幾何空間中的一個點在遵循固定運行規則下，隨時間變化的系統，如流體運動、物種綿續、鐘擺晃動，宏觀經濟系統中的周期變換等數學模型都是動力系統。動力系統在運行過程中的狀態是一系列被確定下來的實數，稱為運行狀態，運行狀態的變動對應這組實數的變動。動力系統遵循一組固定的演化規則，這種規則是確定的。在給定的時間間隔內，系統沿演化規則從當前狀態演化出一個未來的狀態。

2. 不動點的穩定性

首先給出不動點的定義：

若x^?滿足F（x^?）=0，則稱x^?為不動點（Fixed Point）。從不動點出發的解的速度為零，因此它會停留在該點而且對所有的t都有φ（t：x^?）=x^?。傳統上也稱不動點為平衡點（Equilibrium Point）。穩定性一詞最早是從力學方面演化過來的，是指系統的量不隨時間變化的平衡狀態。在外力的干擾下，一定周期內物體能回到原來的位置，這個狀態是“穩定的”；反之，一定周期內物體不能回到原來的位置，這個狀態是“不穩定的”。這說明當力達到平衡時，物體就不再移動。在供應鏈系統，穩定性是指供應鏈中各企業主體的博弈結果達到最優狀態。

供應鏈系統表現出復雜的非線性特征，非線性的供應鏈系統可能存在多個平衡點。這些平衡點中，有局部平衡點，也有整體平衡點。如果用線性范式分析供應鏈系統，那么它的平衡點是唯一的，這樣會掩蓋供應鏈的某些平衡點。

3. 分岔

分岔（Bifurcation）的研究始于18世紀力學對于非線性振動失穩的研究。分岔問題與系統的穩定性問題相對但又密不可分。系統運行經過某個關鍵值時，相空間的拓撲結構會突然發生變化，改變原來運行的方向；也可以說，系統的拓撲結構發生了“質”的變化。例如，考慮一個系統如2-1所示：

x∈U?Rⁿ為狀態參數，μ=［μ₁，μ₂，…，μ_m］^T∈J?R^m為分岔參數。當μ不斷變化時，系統在向空間定態結構μ₀∈J發生突然變化，解的數目發生了變化，則稱系統在點μ=μ₀處發生分岔現象，μ₀為系統的分岔的一個臨界點。

分岔的類型主要有霍夫分岔（Hopf Bifurcation）、叉型分岔（Flip Bifurcation）和鞍－結分岔（Neimark-Sacker Bifurcation）。

4. 吸引子

一個耗散系統中解的情況可以用吸引子來定性說明。混沌的一個重要特征是奇異吸引子理論和分維。

假設系統的運動由n個一階微分方程表示：

以x₁，x₂，…，x_n為坐標，系統運動的一個相空間。相空間內的每個點表示系統的解，它描述系統的運動狀態，解的運動則稱為相空間中的流。

Lanford對吸引子的定義為：相空間的一個子集A。

（1）A對于，x=（x₁，x₂，…，x_n）產生的流是不變的；

（2）A具有吸引性，存在一個A的鄰域，該鄰域內的流收縮至A；

（3）在A上的流是循環的；

（4）A具有不可分割性，即不能把它劃分為更小的集合。如果對它進行分割，就不能滿足定義要求。簡單說，吸引子就是一個動力系統經過長時間演化后的一個極限狀態。

只有耗散的動力系統才具有吸引子，穩定、周期、擬周期和奇異吸引子為常見的幾種吸引子形式。前面三種吸引子描述經典動力系統的規則有序運動，奇異吸引子表征耗散動力系統的混沌運動，它具有分維數的特征。圖2-1就是著名的奇異吸引子——洛倫茲吸引子。

5. Lyapunov指數

正的李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponent）是混沌系統具有的一個重要特征。當動力系統的初值非常接近，隨著時間的推移，它所產生的運動軌跡按指數分離。這說明動力系統運動軌道具有不穩定性，同時李雅普諾夫指數也可以用來刻畫奇異吸引子性質。

下面用一維映射的例子來給李雅普諾夫指數下定義。

μ為狀態參數，設x₀，y₀是一維相空間中相鄰的兩個點，于是

如果兩個點之間的距離隨時間呈指數變化，即

則

其中，當|x₀-y₀|→0，t→∞時，稱是一個動力系統的李雅普諾夫指數。當λ（μ）<0時，動力系統呈現出收斂的趨勢；當λ（μ）>0時，動力系統呈現出發散的趨勢；當多數λ（μ）>0，動力系統呈現出混沌狀態。因此，李雅普諾夫指數反映了動力系統初始運動的細小差距，隨著時間不斷變化呈現出收斂或者發散的趨勢。

由此，可以推導出n維映射的李雅普諾夫指數。通過計算一個非線性系統的李雅普諾夫指數，可以判斷這個系統是否出現混沌現象。

2.1.2　混沌動力學基礎理論

1. 混沌的定義

對混沌的研究還處于發展階段，不同系統的各種復雜混沌特性尚未完全展示。目前，對混沌的定義影響比較大的是Li-Yorke以及Devaney。

李天巖—約克的混沌定義：連續自映射f在［a，b］上若滿足以下條件，則系統就是混沌的。

（1）f具有無上界的周期點；

（2）存在不可數子集合S?［a，b］，S滿足以下a、b、c三個條件且其中無周期點：

a. 對任意x，y∈S，有；

b. 對任意x，y∈S，x≠y，有；

c. 對任意x∈S和f的任意周期點y，有。

在李天巖—約克的混沌定義中，約束條件a和b表明對于任意屬于S的點x、點y沒有要求。約束條件c表明，點x、點y不會趨向任意的周期點。一個系統如果混沌，那么它一定存有無數個穩定的周期軌道和非周期軌道。Li-Yorke根據這一發現，提出了著名的“周期三意味著混沌”的理論。

1989年，Robert L. Devaney發現按照Li-Yorke的混沌定義可能導致混沌是不可觀測的，后來他給出了混沌的另一個定義：若度量空間V上的映射滿足以下三個條件，則稱映射f：V→V是混沌的。

（1）對初始值的敏感依賴性。?δ>0，在x的ε鄰域I內存在y和自然數n，使得d（fⁿ（x），fⁿ（y））>δ，其中ε>0，x∈V；

（2）拓撲傳遞性。對V上的任意開集X，Y，存在k>0，；

（3）f的周期點集在V中稠密。

Devaney定義中的第一個條件表明，混沌系統是不可預測的。因為混沌系統對初值很敏感并且具有強依賴性，初值不可能完全相同，所以混沌系統沒有預測的機制。第二個條件表明，系統不能被分解為兩個不變的開子集合。第三個條件表明在混沌中的有序，混沌態中還具有稠密的周期軌道。后來數學家們深入研究了Devaney定義中三個條件的內在聯系，證明以下三點：

（1）拓撲傳遞性和稠密的周期軌道蘊含了系統對初值的敏感性；

（2）特定條件下，Devaney定義強于Li-Yorke定義；

（3）三個條件中的前兩個條件可以作為因，第三個條件作為果。

2. 混沌的特征

混沌是一種復雜運動狀態，存在于確定性的非線性系統。它具有內在隨機性、有界性、遍歷性、初值敏感性、分形和正的最大李雅普諾夫指數等特征。

（1）內在的隨機性。雖然從內部來看混沌運動是雜亂無章的，但是在隨機性中存在確定性一面。確定性系統的輸入會產生確定性輸出。但是在一個確定性的輸入環境中也會產生類似隨機的行為，表現出混沌特征。這說明混沌的隨機性源于內在，與外部變量無關，因此稱之為內在隨機性。

（2）混沌的有界性和遍歷性。系統處于混沌狀態時，系統的運行軌線始終被吸引在一定范圍內。整體上講，混沌系統是有界并且穩定的；而遍歷性則表現為其軌跡在有限時間內，會經歷混沌吸引子內每一個點。

（3）對初值的敏感依賴性。不管離散或是連續，低維或是高維的混沌系統，其混沌運動都有一個基本的特征：系統的運動軌跡對于初始值的高度敏感。在混沌系統中，初始條件發生微小的變化，隨著時間的不斷變化，可能導致結果完全不同。這種對初始條件的敏感性，反映了動力系統內具有強烈的內在隨機性，同時這種性質導致不能預測系統長期運動后的行為。

（4）與分形聯系緊密。分形是幾何學概念，表示那些無法用規則的幾何語言敘述的復雜圖形?；煦缦到y的初值或者參數的邊界通常情況下是分形的，系統奇怪吸引子的截面往往也是分形的。

（5）與Lyapunov指數相關聯。根據最大Lyapunov指數的大小可以對系統狀態進行直觀判斷。系統的最大Lyapunov指數大于0，意味著在不論系統初始軌線相差多小，隨系統演化其差距都會呈指指數增長，最后系統進入混沌狀態。此特性在后續章節中被用來判斷系統的狀態。

除以上幾個特性之外，混沌系統還具有標度性、奇怪吸引子、連續功率譜和分形等特性。

3. 通向混沌的道路

大量的研究證實，對于不同類型的確定性的耗散系統，在不同條件下會以不同的道路通向混沌，如倍周期分岔道路、茹厄勒－塔根司（Ruelle-Takens）道路、陣發性道路和Hopf分岔等。

（1）倍周期分岔道路

從字面意義上來看，倍周期分岔就是系統的運行軌跡出現2，4，8倍的變化。系統參數值的不斷變化，會引起系統的拓撲結構發生質的變化。首先系統的運行軌跡進行第一次分岔，系統出現兩條運行軌跡，之后，每條運行軌跡再一分為二。倍周期分岔的演化過程就是系統不斷沿每條軌跡繼續分裂最終演化為混沌。本書討論的風險規避型供應鏈系統在一定條件下均通過被周期分岔進入混沌狀態，具體的演化過程通過以下章節進行展示。下面通過例子詳細說明倍周期分岔的演化過程。

考慮離散Logistic模型：

其中，μ是正實數，x_n∈［0，1］代表某一物種在第n年所占的比例。

根據公式x_n+1=x_n，得到兩個平衡點，。

根據穩定性要求，令。

1）當0≤μ≤1

，則平衡點穩定。

平衡點無實際意義，故是系統唯一的不動點。

2）當1<μ≤3

，則為系統的不穩定的不動點。

，所以是映射在［0，1］內的穩定不動點。

3）當

所以，離散Logistic系統的兩個平衡點均失穩。

4）當μ≥3.5699

離散Logistic系統的平衡點均不滿足穩定性條件。隨著參數μ的變化系統的演化如圖2-2所示。

除Logestic系統，Duffing系統也是通過倍周期分岔通向混沌。Feigenbaum正是針對Logestic系統進行開創性研究，發現并確定兩個普適常數。

（2）茹厄勒－塔根司（準周期）道路

菇厄勒（D. Ruelle，1971）和塔根斯（F. Takens，1978），法國著名科學家，提出準周期也是通向混沌的一條道路。因此，準周期道路又稱茹厄勒－塔根斯道路。當流體系統發生湍流時，系統內不同頻率的振蕩互相耦合時，系統就會產生一系列新的耦合頻率的振蕩，從而導致混沌。其混沌過程為：隨著參數的變化，系統由平衡點到極限環，然后極限環分岔為二維環面，繼而再次分岔到三維環面進入混沌。菇厄勒和塔根斯分別用實驗證明，在三次分岔后規則運動變得極度不穩定從而進入混沌。他們認為二維環面上的準周期運動，可能會直接失去穩定到達混沌。

（3）陣發性通向混沌（Pomeau-Manneville道路）

Pomeau和Manneville于1980年提出陣發性通向混沌道路。它在通向混沌道路上系統會出現規則行為不規則行為的隨機交替現象。

（4）Hopf分岔通向混沌（Ruelle-Takens-Newhouse道路）

它是反映非線性耦合系統所造成的節律變化。一般情況下，一種規則的運動狀態最多經過3次Hopf分岔就能夠演化為混沌運動狀態。

2.1.3　系統穩定性判據

系統可以分為連續系統和離散系統，下面各章節中所討論的風險規避型供應鏈的博弈決策都是發生在離散時間周期內。離散系統穩定性的判定需要借助一定的方法。為了得到離散系統的穩定性判據，先介紹連續系統的穩定性判據。

1. 連續系統穩定性判據

對于復雜的連續系統，它的運行軌跡發生在連續的時間內，可以運用連續系統的勞斯穩定性判據。下面通過構造Lyapunov函數來對連續系統的穩定性進行判斷。

特征方程的特征值都為負實部時，連續系統處于穩定狀態。但是，對于復雜的系統（階次超過3次），很難求出系統的特征值。基于這樣一種需求產生了勞斯（Routh）穩定判據。

假設系統的特征方程式為

其中，a₀>0，作Routh-Hurwitz行列式：

當i>n，規定a_i=0，如果Δ₁>0，Δ₂>0，Δ₃>0，…，Δ_n-1>0，Δ_n>0同時滿足，特征方程的一切根的實部為負，則連續系統處于穩定狀態。

2. 離散系統穩定性判據

連續系統的勞斯（Routh）判據是判斷系統的特征根是否在左半s平面來得到系統的穩定性，而離散系統的特征根的模全部小于1，即z平面的單位圓內，系統是穩定的。因此勞斯（Routh）判據不能直接用來判斷離散系統的穩定性，需要引入一種線性變換完成從z域到s域的轉換，才能將勞斯判據用來判斷離散系統的穩定性。朱利（Jury）判據是離散系統穩定性的一個判據，首先計算出系統的特征方程式，如下式所示：

根據特征方程式的系數得到朱利（Jury）表

其中，，k=0，1，2，…，n-1

通過計算可以求得朱利（Jury）表中的2n-3行n+1列個元素，則滿足下列三個條件時離散系統是穩定的。

（1）D（1）=D（m）_m=1>0.

（2）（-1）ⁿD（-1）=（-1）D（m）_m=1>0.

（3）n-1個約束條件：

|a₀|<a_n，|b₀|>|b_n-1|，|c₀|>|c_n-2|，…，|p₀|>|p₃|，|q₀|>|q₂|.

上面三個條件是離散系統穩定的充分必要條件，任何一條不滿足，離散系統就不穩定。以下章節中系統的穩定域均是根據朱利（Jury）判據得到。

2.1.4　經濟系統混沌控制方法介紹

混沌現象具有確定性、非線性、非常復雜且具有內在隨機性的運動軌跡，對初值敏感性使其運動軌跡不可預測。要根據系統的特點對混沌現象加以控制：①混沌對于系統的運行有害時，可以加以控制；②混沌對于系統運作有利時，創造條件使之產生特定的混沌軌道?？傊覀円没煦邕\動自身的特性達到控制目的。狹義的混沌控制是指抑制混沌的發生，可以定義為：根據不同領域的實際需要，設法從多種多樣非線性系統所產生的混沌行為中，任意挑選幾處所需的周期信號，甚至非周期信號，并實現有效控制。目前，對于有害的混沌運動，我們要采取一定的控制方法抑制或消除混沌運動的發生。對于很多經濟管理系統，混沌對系統的運行是有害的。所以，要根據系統自身的特性采用有效的方法抑制混沌。

目前，對混沌的控制主要通過以下兩種方法：①通過對參數的修改實現對混沌系統的控制；②通過系統狀態變量的修改來抑制混沌的發生。OGY方法是最早用于抑制混沌發生的方法，Ditto，Rouseot和Span通過實驗驗證了OGY方法的有效性和不足之處。Ott，Grebogi與Romeras，Daywansa在Ditto，Rouseot和Span的基礎上對OGY方法做了改進。許多學者相繼提出了一系列混沌控制方法，如參數周期擾動法、周期激勵法、OPF控制法、連續反饋控制法、自適應控制法等?；煦绲目刂婆c經典的控制不同，混沌控制的共同特點是盡可能利用混沌運動自身的特性來達到控制目的。各種方法各有優缺點，對于不同的學科領域，應用角度不同，根據具體情況可以采用不同的控制方法抑制或控制混沌運動。從控制原理來看，混沌控制方法大體可分為反饋控制和無反饋控制兩大類。反饋控制的各種方法所需反饋控制量的大小可以根據受控系統的狀態調節，因而具有微擾較小的優點；但一般需要預先了解系統的運動狀態或目標態的性質才能控制。無反饋控制法在實際控制中不需要預先知道系統的動力學性質，具有較強的可操作性；但是控制量較大，必須始終作用在系統上。

結合本書所使用的對經濟系統的混沌控制方法，主要介紹以下四種控制方法。

1. 狀態反饋和參數調整控制法

以離散系統為例來分析非線性動力系統的控制過程，系統如公式（2-10）。

其中，x_k∈Rⁿ，k∈Z，μ∈R是分岔參數。受控系統為

其中，0<α<1，m為某個正整數，f^m（·）是映射f（·）的m次復合函數。選擇適當的控制參數α可以控制給定周期軌道的穩定性，鎮定混沌吸引子中的不穩定周期軌道。

在這里，考慮m=1時系統（2-12）的穩定性控制條件，原系統在不動點處的線性化矩陣為：

不動點x^?穩定的條件為：J₁的所有特征值|λ_i|<1，i=1，2，…，n?？梢缘玫?i>x^?穩定時分岔參數μ的取值范圍。

系統（2-11）在x^?處的線性化矩陣為：

由于J₂中引入了調節參數α，只要選擇適當的α值，就可以確保在失穩的不動點μ值范圍內，可滿足J₂的所有特征值|λ_i|<1，i=1，2，…，n；從而使不動點在更大的參數范圍內保持穩定，延遲分岔和混沌現象的發生。

2. 延遲反饋控制法

延遲反饋控制法的主要思想是讓特定軌道的輸出信號經過延遲時間后再輸入系統中，作為延遲反饋控制的信號。延遲反饋控制的形式為：F（t）=K［y（t-τ）-y（t）］=KD（t），其中，τ為延遲長度，K為反饋控制因子。通過調節K和D（t），可以使系統的李雅普指數小于零，達到混沌控制的目的。當y（t-τ）-y（t）=0，則F（t）=0，不穩定系統軌道變成穩定軌道，而且沒有改變系統的均衡解。延遲反饋控制法簡單易行，在本書的研究中用來對風險規避型供應鏈的博弈模型的混沌軌道進行控制，使用非線性控制方法對二維離散混沌系統進行混沌控制。下面考慮一般的離散混沌系統：

狀態變量為，非線性反饋控制為。其中，ε為反饋系數，{x_i}為特定的不穩定周期軌道，p為要控制的軌道數。被控制后的系統為：

調整反饋系數ε，可以將系統穩定在固定點或其他任意周期軌道上。

3. 變量反饋控制法

以離散動力系統為例，設原系統為：

加入控制策略后受控系統為：

k的取值范圍較大，為了使系統回到穩定狀態，需要適當的選擇k值。

4. 系統變量的脈沖反饋法

系統變量的脈沖反饋法由Guemez和Matias在1993年提出。這種方法的基本思想是當系統的控制參數不好確定或者不好找出時，改變系統變量來達到對離散系統映象和連續系統混沌的穩定控制。這種方法彌補了以上幾種方法的不足，可以不受限制地改變系統變量。因為對于一個對初值敏感的混沌系統，有時候不好確定可調整的控制參數。下面將系統變量脈沖反饋法（PPSV，Proportional Pulses on System Variables）應用于離散系統的控制過程進行介紹。

其中，x∈R^N，為系統的狀態變量。若脈沖反饋的反饋律為g（x_n），反饋步長為k，即每隔k次迭代，將g（x_n）反饋到系統中去。一般地，g（x_n）采用變量比例反饋形式。

設g（x_n）=Bx_n，B=diag［b₁，b₂，…，b_n］為N×N脈沖強度向量，那么，可以得到方程：

其中，m>1為自然數，選取適當的B和k就可以實現控制目的。