4　萊布尼茲級數(shù)

【本章摘要】

數(shù)學知識：萊布尼茲級數(shù)的通項公式，無窮級數(shù)求和的公式表示法。

編程知識：for和while循環(huán)語句的特點，Python加、減、乘、除的寫法，賦值的方法，運算符的優(yōu)先級。

萊布尼茲（1646—1716）是德國哲學家、數(shù)學家、職業(yè)律師，歷史上少見的通才，被譽為17世紀的亞里士多德。在數(shù)學上，他和牛頓先后獨立發(fā)現(xiàn)了微積分，1684年，他首先公開發(fā)表了第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx、dy；1686年，他又首先公開發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。這些數(shù)學符號今天我們?nèi)栽谑褂谩４送猓R布尼茲還發(fā)明并完善了二進制，這是今天計算機科學的數(shù)學基礎(chǔ)。在研究微積分的過程中他首先發(fā)現(xiàn)了一個非常簡潔的求圓周率的公式：

首先我們來認識一下這個通項公式：分母全是奇數(shù)，可以用2n-1表示，從n=1開始取值，分子為1，每一項的符號則是正負符號交錯，第一項是正的，第二項為負，那么可以寫成（-1）n+1，n=1時為正，上面這個公式也可以寫成如下形式：

其中，∑是一個求和符號，讀音是Sigma，符號底下的n=1表示從1開始，上面的∞表示一直加下去，直至無窮。用這個求和符號后面接通項公式，就表示了一個無窮級數(shù)的求和。注意，我們在學習有理數(shù)的性質(zhì)時，有“兩個有理數(shù)的和仍是有理數(shù)”的結(jié)論，這個級數(shù)反映了這樣一個事實，即無窮多個有理數(shù)的和可以是無理數(shù)。下面我們寫一個Python程序來驗證上面這個公式是否正確。

我們用兩種方法來驗證。

方法1：我們連續(xù)地加10 000項，看看和是多少，這個方法可以用for循環(huán)語句來實現(xiàn)。

代碼如下：

我們初始定義了兩個變量sum為0，sign為-1，sum是為了存放累加的和，sign就是為了計算（-1）n+1，初始為-1，以后每次再乘以一個-1，就計算出了這個（-1）n+1的值。代碼中我們也看到乘法用“*”來表示，除法用“/”來表示，為了讓2*n-1作為一個整體來計算，我們用“（）”把它括起來。

程序中用了一個for來控制循環(huán)多少次，句型為“for（控制變量）in（有序序列）：”，這里面包括冒號“：”在內(nèi)一共5個元素，一個都不能少；Python中range（）函數(shù)可以創(chuàng)建一個整數(shù)列表，一般用在for循環(huán)中。

range（start，stop[，step]）的參數(shù)說明：

start——計數(shù)從start開始，默認是從0開始。

stop——計數(shù)到stop結(jié)束，但不包括stop。

step——步長，默認為1，如果為1，這個參數(shù)可以不填。

range（1，10）實際上將生成[1，2，3，4，5，6，7，8，9]這個列表，n就依次從1一直變到9，每次增加1。程序中range（1，10001），所以程序中就從1開始一直循環(huán)變到10000結(jié)束。

程序中我們用sum+=sign/（2*n-1）實現(xiàn)累加，sum+=是sum=sum+…的一種簡寫法，這句話表示循序累加。這個程序累計執(zhí)行10000次后，結(jié)果確實與π很接近了。

假如我們已知π=3.141 592 6，希望驗證這個公式要加到n為多少時才能與已知的π之間的誤差小于0.000 01，可以用while這種循環(huán)語句的方式來驗證，while循環(huán)語句的句法為“while（循環(huán)繼續(xù)的條件）：”，包含3個元素。

代碼如下：

這次我們用到了while這種循環(huán)方法，這個程序中有兩個新的知識點。

（1）我們用import導入了math這個模塊，并且在程序中用math.pi來引用這個模塊中定義的π常數(shù)，大家可以在Python的Console中嘗試一下，它的值是3.141 592 653 589 793。

（2）我們調(diào)用了Python中內(nèi)置的函數(shù)abs（），這個函數(shù)就是求絕對值，程序中判斷是否繼續(xù)循環(huán)的條件就是判斷我們求出來的級數(shù)和的4倍與π的差是否比0.000 001更小，如果還沒有就繼續(xù)求和，直到滿足要求。

我們發(fā)現(xiàn)，一共要循環(huán)100萬次才達成目標。

總結(jié)：在明確知道要循環(huán)多少次的情況下，可以用for語句來構(gòu)建循環(huán)；而不能預知要循環(huán)多少次的情況下，可以用while語句來構(gòu)建循環(huán)。

練習

1．用for循環(huán)編程求1+2+3+…+2020的和。可以首先講解等差數(shù)列的求和方法，再編程驗證。

2．分別用for循環(huán)語句和while循環(huán)語句編程求1+3+5+7+…+2021的和，注意在講解時，要小朋友們先找到通項公式，然后用通項公式求出應該循環(huán)多少次。