說起數學中名聲在外的函數，大家都不陌生。但是，似乎都忘記了映射這個重要的媒介。當時，為了解釋函數，教科書里才簡單描述了它。那么，它真的很簡單？當然不是。

說起直積映射，我以前是不知道的。后來在一本代數數論書籍中，我看到了直積以及直積映射。直積是笛卡爾乘積，就是一個集合的任一元素與另一個集合的任一元素的乘積。說起笛卡爾，想必誰都不陌生。一句我思故我在，成為多少人的口頭禪。直積映射就是關于映射族的映射。映射族聽起來和集合族差不多，其實也是同樣的道理。映射族就是映射代數化。怎么理解2＝2是個等式x-2＝x3－6就是一個方程。當然，這還是不具有說服力。32+42＝52就是一個等式，a?+b?=c?就是一個等式族。

我們知道同質化和同胚，但是同構呢？同胚有拓撲同胚和微分同胚，而同構就有向量空間同構。我們既然是談映射，同構自然也有映射。同構映射是同態映射和雙射，都是群論概念。同態本來就是映射，如果再說映射，不就是同義重復嗎？它涉及群胚，是一種范疇論的概念。與元素偶有關。這個詞語聽起來有些奇怪，為什么不叫元素對呢？對表示兩個，而偶可以表示多個。所以，偶是對的推廣。

說起反射，是不是覺得是物理的？但是，數學中也有反射這個概念。在形態學里，指的是兩個集合存在相似。

對合聽起來有些繞口，理解起來的確存在困難。對合和同態一樣，都是映射。對合的例子有很多，有恒等映射、圓反演等。而對合變換也很特殊，它是冪幺變換。冪幺變換的形式是指數，關鍵是冪幺指數。

切映射聽起來像個動詞組合，其實是名詞。微分幾何里，也有切空間。它們都和微分流形有關。

世界真奇妙，數學顯神功。

微分出流形，幾何連代數。

各個數學家，各展已之才。

大廈何其多，我從里面過。

依靠一后綴，尋出多條線。

一線引多線，概念如泉涌。

為解其中一，試思他二三。

從此形成鏈，進而形成網。

我知學不應急，怎奈迷茫太甚。

如若不尋一二助力，登上座座學術大廈豈非妄想？

記得孔子說過，學習是要思考。

對此，我想也是。

很多時候，哪有現成的結論讓你用上。

到頭來，還不是要靠自己來想。

即使讀者讀得尷尬，我也實屬無奈。

第一，是為學習。第二，是為理想。

人生在世，怎能沒有追求？

如果事事都以不懂推脫，不是偷懶的表現嗎？

學術本是難事，故而難做。

但是，我想求知之火又怎么能讓它熄滅？

由于不是在學術平臺，所以我就不受限制。

當然，凡事都有成本和代價。

自由也不例外。

我的觀點可能存在錯誤而我卻不自知，不過人誰無過呢？

好了，就這樣水了半章。