01　平面幾何已死，平面幾何萬歲

幾何學是一門古老的學科，其對應的英語單詞為geometry。這個詞最早源于古希臘語，本意是“丈量土地”。當然，今天的幾何學和古希臘的幾何學相比有著翻天覆地的變化，但對于中學生來說，仍然要從最簡單的點、線、面開始學起。

對于很多中學生而言，平面幾何的證明題是非常令人痛苦的：拿尺子或量角器一量，結論明明是對的，但證明過程卻難以下筆。代數題好歹能胡謅兩句，但平面幾何的大題如果不會做，連胡編亂造幾句話都很困難，只能把題目抄一遍了事。

其實平面幾何在當下的中學數學教育體系里是一個“尷尬”的存在：如果要“玩”競賽，那么平面幾何必須學得非常深；如果只是為了應付升學考試，那么平面幾何的學習就會輕松許多，甚至最令人頭疼的加輔助線法，都只要十個字就能解決（見第17章）。

原本，平面幾何的學習對高中立體幾何的學習還有些影響，但現在由于向量法的普及，面對高考中的立體幾何題目，很少有人會繼續用純幾何的方法平移線段，然后構造三角形去計算各種角度。因此，平面幾何對于高中數學學習的影響也日漸式微。

不過，由于我們的中小學教育中沒有開設邏輯學課程，竊以為，平面幾何其實多少起到了替代邏輯學的作用。

在正式講平面幾何之前，我們還要先了解這樣一個問題：平面幾何到底是一門什么樣的課程？

楊振寧先生曾經賦詩一首，細數歷史上最偉大的五位幾何學家：歐高黎嘉陳。除去第一位，其余四位的研究范疇都是現代幾何學，唯獨第一位“老歐”是玩古典幾何學的。“歐家”家世悠久，人才輩出，有寫書法的歐陽詢、寫作文的歐陽修，還有這位幾何學之集大成者及創始人——歐幾里得。這當然是在開玩笑。

歐幾里得的傳世之作《幾何原本》揭示了平面幾何研究的核心內容：位置關系和數量關系。他用五條公設和若干公理就構造了龐大的幾何體系——這是一項驚人的成就。假如達·芬奇堪比一個穿越回文藝復興時代的現代人，那么相比之下，歐幾里得在幾何學上的高瞻遠矚也不遑多讓。直到現在，《幾何原本》仍代表著古希臘智慧的巔峰。

很多讀者來問我：賊老師，怎么才能學好平面幾何？

老讀者都知道，我是“天賦論”的擁躉。在我看來，很多學生因為天賦所限“學不好”平面幾何，換誰教都不行。我當教師這么多年，最反感的一句話就是“沒有教不好的學生，只有不會教的老師”。這句話，教師用來自省可以，但是家長用來要求教師教好自己家孩子，大多數情況下就是個笑話。

然而，對每個孩子來說，所謂“學好”的標準是不一樣的。自行車賽手能騎到80千米 / 時，那就堪稱頂級選手了；但法拉利開到80千米 / 時的時候，人家司機還沒開始“轟油門兒”呢。所以，家長首先要對自己的孩子有充分的了解，明白孩子能力的“天花板”在哪里。當你真正了解自己的孩子后，也許會覺得孩子的平面幾何學得還是不錯的。

平面幾何是數學的一個分支，如果你想要學好它，也要遵從數學學習的一般規律。最根本的原則就是：要提高對數學的認識。什么叫對數學的認識呢？比如說，等你學了解析幾何以后，你如果能夠意識到，其實平面幾何作為數學的一個分支來說已經“死”了，沒有任何新的東西了，這就是一種認識到位的標志。所有的定理、命題，你都可以通過計算“暴力破解”；如果再加上三角和復數的工具，理論上，平面幾何就沒有任何研究的必要性了。那些“活著”的數學分支，應該會有很多新問題能推動這一分支的發展。

既然平面幾何已經是一個“死亡分支”了，為什么我們還要學它呢？

首先當然是出于實用性。“幾何”最早在古希臘語里的意思就是“丈量土地”，所以這是一門標準的應用數學，而且是一個非常實用的工具。這就像一把錘子，可錘子除了敲東西，還能搞出什么革命性的創意嗎？很難。然而這不妨礙錘子是一種很有用的工具。

其次，我們大多缺乏系統的邏輯學教育，而平面幾何是邏輯學最好的替代品。家長自己在學習平面幾何的時候應該深有體會：解題時，從上一步到下一步，必須要在邏輯上成立才能走過去；不然，對于任何平面幾何的證明題，只要把題目抄一遍就完了——反正這些條件肯定能推出最后的結論。通過反復的訓練，我們就能借助學習平面幾何完成基本的邏輯訓練。

那么，初學者該怎么把平面幾何學好，而老師又怎么才能把這門課教好呢？

我們知道，現實生活中的物體可以從點、線、面、體幾個維度進行刻畫。在初中平面幾何的學習過程中，我們主要研究與點和線這兩個維度相關的問題。

作為學生來說，如果學完了平面幾何卻總結不出這門課是研究圖形的位置關系和數量關系的話，那就算是白學了。這兩個關系也可以作為家長測試數學老師能力的“試金石”——只要你膽子足夠大。當然，這是從宏觀層面來說。如果從具體內容的角度來說，三角形無疑是整個初中平面幾何的重中之重。

你想想，三角形是最簡單的直線型封閉圖形。然而，四邊形或圓的相關知識點，哪一個不是和三角形息息相關？什么是四邊形？那不就是兩個三角形拼起來的圖形嗎？圓的知識點，考到最后也是考直線段的圖形，因為初中生幾乎不具備處理曲線問題的能力啊！

我在這里先寫這么一篇文章，是因為在以往的教學過程中，很多孩子學完了平面幾何也不知道自己到底在學什么，到底什么是學習的重點。而作為家長，就算你已經把平面幾何的證明方法丟到爪哇國去了，但你仍然可以給孩子一些非常有用的建議——無論是在大方向上，還是針對具體內容。

所以，這就算是平面幾何學習的總綱吧。就像我在講初中代數的時候，總會特別強調因式分解一樣，在學習平面幾何時，如果你把三角形給弄明白了，那么平面幾何一般來說就沒問題了。后面，我也會用較多篇幅來講三角形的相關內容。

從平面幾何證明的方法來看，大致分為純幾何法和計算法。蘇聯原有的教育體系偏重用純幾何的做法，即利用幾何中的各種變換技巧，加一堆的輔助線；而歐美的教育風格喜歡算、算、算，用很少的輔助線來解決問題。當前，我國初中階段的平面幾何教學走的還是前一種路線，幾乎不涉及運用解析法或三角法。只有到了高中，專門走數學競賽路線的學生才有機會接觸到這些通過計算來證明平面幾何的方法。

在題目相對比較簡單的時候，純幾何法占優勢；在題目比較難的時候，相對來說，計算法會占優勢。當然，兩者之間的界限并不是特別明顯，在大多數情況下，還是根據個人的偏好來決定。

所以，我在寫這些教學文章的時候，盡量采用我認為最自然的思路——注意，是最自然的思路，而不是最簡潔的思路。畢竟，我掌握的技巧肯定比一般的學生和家長要多一些。有些定理和方法會完全“超綱”，但使用起來非常簡便，假如遇到這種情形，我就盡量避免使用“高超”技巧，而是采用初學者的思維方式進行思考。由于每個人的思維模式不一樣，因而在整理思路的時候，每個人對所謂“最自然的思路”的理解也不太一樣。這并不是什么原則性問題，關鍵是要幫助孩子建立起屬于自己的一套自然的思路——不要你覺得自然，要他覺得自然，才是真自然。

因此，我為本書選擇例子的時候遵循了一個基本原則：是否有自然的思路。有些平面幾何的難題需要用到的解題技巧過強，甚至完全沒有邏輯可言，證明的時候全靠想象力，這種題目一般不予收錄——能做好這種難度題目的孩子已經不需要看我的這些文章了。而在我所舉的例子中，有些題目確實有難度，但是，只要你有耐心，基本上不需要靠太大的想象力來解決。也就是說，只要你的基本功扎實，完全可以通過題設中的條件，一點點把方法給“摳”出來。

經常有很多讀者給我留言，說自己有更好的解法。講真的，我挺感動的。畢竟，在這個浮躁的年代，居然還有人愿意去做點數學題，這是很難得的事情。只是有些解法在我看來也許不夠“自然”，技巧性過強，與我的教學理念有些沖突，所以我在這里沒有選用那些方法。

從我內心來說，我很希望把解析幾何的辦法教給大家，因為那樣一來，大家用來應付中考是綽綽有余了。然而，這屬于被“封禁”的技能，所以我也只能采用純幾何法來進行推導。

不是每個人都要去當數學家，這既無可能，也無必要。過度“炫技”，除了打擊孩子的信心、破壞學習興趣以外，沒有任何的用處。越是平平無奇的解法反而越能打消孩子對學習平面幾何的恐懼。證明的過程長一點，其實不可怕。但是，如果證明過程非常精彩又很簡短，以至于讓孩子發出了“這怎么想得到”的驚嘆，那么這種方法在教學上反而多半是不太好的辦法。應該說，我列舉的平面幾何基本訓練例題，大多數孩子完全可以做好。總體而言，人的智力水平分布是成橄欖型的：所謂“極聰明”和“極笨”的人都是少數，如果把所有人的智商值取平均值，那么在正負一個標準差范圍內，就包含了接近70%的孩子。所以說，大部分孩子可以做好平面幾何的基本訓練，這是有數據作為支撐的。

當然，具體到細節上，那就千變萬化了。哪有什么教輔圖書或教學方法能適用于所有人呢？假如真的有，那么“因材施教”豈不成了一句空話？所以，一個人能教會所有學生不符合實際情況。我只能給學習的學生或輔導孩子的家長提供一種思路，同時把一些關鍵之處給大家羅列出來，讓家長能很好地判斷孩子到底有沒有真的掌握這些知識點。

平面幾何的核心問題在于兩種關系：數量關系和位置關系。一切的問題都是圍繞著這兩種關系展開的，所有輔助線的添加方法也都是由這兩種關系決定的。孩子的題目刷得再多，假如不明白自己到底在干什么，那么他的能力提高得會很慢；反之，有了這個指導思想，孩子上手就會很快。

所以，如果家長想要“下場”親自輔導孩子，一定要站得高一點，才能夠幫助孩子取得實質性的進步。如果你要判斷老師的教學能力，那種只會讓孩子做題，然后一個接一個講題目的老師，恐怕水平有限。我的目的不僅是幫助家長提升對數學學習的認識水平，也是幫助大家甄別孩子碰到的數學老師的教學水平。