3.1.2 噴霧方程

求解噴霧的基本動力學及其與氣相的相互作用是一個極其復雜的問題。為了計算液相噴霧與氣相之間的質(zhì)量、動量和能量交換，必須考慮到噴霧液滴尺寸、速度和溫度的分布。在許多內(nèi)燃機噴霧中，還必須考慮液滴破裂、碰撞和聚合的情況。從理論上講，液相也可以使用納維-斯托克斯方程式進行詳細描述。然而，由于時間尺度和長度尺度的巨大差異，其與氣相流體的相互作用極為復雜。因此，有學者提出了分離的流體模型來考慮兩相之間有限速率輸運的影響。

通常，在分離流體模型中有三種不同的方法：離散液滴模型（Discrete Drop-let Model，DDM）、連續(xù)液滴模型（Continuous Droplet Model，CDM）以及連續(xù)方程模型（Continuous Formulation Model，CFM）。DDM被稱為“拉格朗日方法”[2]。在DDM中，噴霧由有限數(shù)量的液滴組表示。使用拉格朗日公式在流場中跟蹤這些液滴組的運動和輸運。液相的平均數(shù)量通過統(tǒng)計學方法計算。通過將適當?shù)膰婌F項引入到氣相的控制方程中，可以研究液相對氣相的影響（參見式（3-9）～式（3-11））。DDM可以方便地構(gòu)造物理模型和數(shù)值算法。因此，拉格朗日方法主導了當前兩相流的CFD模擬。

CDM僅在必須考慮某些現(xiàn)象時才適用。否則，其計算成本將非常高。CFM將兩相視為連續(xù)相，并均用歐拉公式求解。在數(shù)學上，它被稱為“歐拉方法”，與“拉格朗日方法”有所區(qū)別。它將離散相（液體噴霧）視為連續(xù)流體，并引入幾個連續(xù)的標量場來表示離散相。在節(jié)點上定義了與離散相有關的物理量，這些節(jié)點通常與連續(xù)相的網(wǎng)格一致，并且為這兩相導出了平均方程。因此，使用這種方法可以在宏觀水平上模擬離散相。這種方法在對復雜現(xiàn)象（例如液滴破裂、液滴相互作用和液滴蒸發(fā)）模擬時會非常困難，而這些現(xiàn)象在內(nèi)燃機應用中是必不可少的。這種方法在描述湍流應力和輸運時也非常困難。這些方法的詳細說明可以參閱文獻[3]。

由于DDM模型最常用于內(nèi)燃機模擬中，因此在本書中僅對其進行討論，并且本書中的所有計算示例均使用DDM模型。有關DDM方法的詳細說明，請參見第5.2.1小節(jié)。DDM方法假定，燃油在初次破碎后，形成的液滴足夠小，可以視為點源。因此，噴霧過程可以用噴霧方程式描述[4]，其中噴霧由液滴分布函數(shù)f表示，該液滴分布函數(shù)除時間以外還具有十個獨立變量。它們是三個液滴位置分量x，三個速度分量，液滴半徑r，溫度T_d，液滴離開球形的變形y及其時間變化率=dy/dt。無量綱量y與液滴表面偏離平衡位置的位移與液滴半徑r的比值成比例（參見第5.3.1小節(jié)）。液滴分布函數(shù)為

它被定義為：，是在位置x和時間t時、速度在區(qū)間、半徑在（r，r+dr）區(qū)間、溫度在區(qū)間、位移參數(shù)在（y，y+dy）和區(qū)間中單位體積可能的液滴數(shù)量[5]。

f的第一個意義為液滴的數(shù)量密度

第二意義是關聯(lián)液滴半徑r與液體體積分數(shù)θ和液體宏觀密度ρ_l′

式中，ρ_d是液體微觀密度（液滴密度）。注意ρ_l′可以和氣體密度相當或者更大。

f隨時間的變化通過求解以下噴霧方程得到：

源項和是由于液滴碰撞和破碎而產(chǎn)生（參見第5.3.2節(jié)和5.3.1節(jié)）。通過求解式（3-18），式（3-9）～式（3-11）中的噴霧交換項由下式給出：

在湍流k-ε模型中（參見第4.2節(jié)和第4.3節(jié)）源項的計算式為

式中，F′=dx/dt-g；是液滴和氣體之間的相對速度；u′是氣相湍流強度；I_l是液滴的內(nèi)能；c_l是液滴的比熱容。

式（3-18）描述了液滴分布函數(shù)的變化過程。但是，用于描述液滴破碎、變形、碰撞、阻力、蒸發(fā)和液滴/壁面相互作用的子模型也都需要建立，這些子模型將在之后的章節(jié)中進行介紹（請參見第5章）。

與化學反應相關聯(lián)的源項也需要建立模型。這些模型將會在之后的章節(jié)中進行討論。在給出所有子模型的基礎上，加入經(jīng)過適當處理的初始條件、邊界條件以及流體物性后，就可以對上述方程組進行數(shù)值求解，以解析內(nèi)燃機中的流體流動現(xiàn)象。