3.1.1 氣相控制方程

在本節中，我們將給出笛卡兒坐標系中氣相運動的控制方程。這些方程也稱為納維-斯托克斯方程。方程中，x、y、z坐標軸方向上的單位向量分別用下標1、2、3表示。有時為了方便起見，也用x、y和z表示它們。位置矢量x可由以下公式定義為

x=x₁i+x₂j+x₃k

矢量算子定義為

速度矢量u定義為

u=u（x₁，x₂，x₃，t）i+v（x₁，x₂，x₃，t）j+w（x₁，x₂，x₃，t）k

為了易于理解，我們將首先給出可壓縮、黏性、導熱的理想氣體流體的控制方程，隨后給出相似但更復雜的刻畫多組分、噴霧和化學反應流體的控制方程。這些方程的推導可以在許多書籍中找到[1]。質量守恒方程為

式中，ρ是流體的質量濃度或質量密度；t是時間。

動量守恒方程為

式中，p是流體壓力；σ_ij是斯托克斯應力張量；g_i是重力加速度。

斯托克斯應力張量的定義為

式中，μ是動力黏度；δ是克羅內克張量，計算公式為

式（3-3）體現了牛頓流體的應力與速度梯度之間的關系。通常將應變率張量定義為

內能守恒方程為

式中，e是內能；q_j是由熱傳導引起的傳熱量：

式中，T是流體溫度；λ是導熱系數。

上述方程式可應用于內燃機中的可壓縮冷流（例如，進氣過程中的可壓縮冷流或倒拖發動機中的可壓縮冷流）。但是，必須將上述方程式進行推廣，才能用來描述涉及多組分、噴霧和化學反應的過程。在這些流體中，組分k的質量守恒方程為

式中，ρ_k是組分k的質量密度，并且混合氣的總質量密度與它的關系式為ρ=和兩個源項分別是由于化學反應和噴霧蒸發/冷凝產生的；D是在菲克擴散定律假設下得到的單一擴散系數，其表達式為

式中，Sc是施密特數。

對所有組分應用式（3-7）求和，得到氣流整體的質量守恒方程為

整個流體的動量守恒方程為

式中，是由噴霧引起的源項，其定義式將在下一節中介紹。

整個流體的能量守恒方程為

式中，J_j是傳熱量，它是熱傳導和焓擴散貢獻的總和：

式中，和是噴霧和化學反應引起的源項；N是所有組分的數量。

基于將實際氣體混合物視為理想氣體的假設，給出如下狀態方程。考慮到在內燃機中壓力和溫度的變化范圍，這個假設是非常合理的。

式中，R是通用氣體常數；W_k是組分k的分子量。