2.5.1 靜止坐標系數學模型

類似于2.3.1節的推導方法，建立電動機的電感矩陣L如下：

其中，繞組自感L_ii（i=A～F），互感M_ij（i，j=A～F，且i≠j）的推導類似于2.3節和2.4節中的相關推導。

六個繞組自感推導結果如下：

式中，α=30°，L_sσ1為相繞組漏電感。

在忽略互漏感時，六個繞組互感推導結果如下：

其中，式（2-99）和式（2-100）中有關變量關系為L_smn=L_sm1/n,L_rsn=L_rs1/n。所以對應的基波及諧波電感幅值L_sm1=0.5（L_dm1+L_qm1）,L_rs1=0.5（L_dm1-L_qm1）,L_sm3=0.5（L_dm1+L_qm1）/3,L_rs3=0.5（L_dm1-L_qm1）/3,L_sm5=0.5（L_dm1+L_qm1）/5，L_rs5=0.5（L_dm1-L_qm1）/5。

把式（2-99）和式（2-100）代入式（2-98）中，并化簡結果如下：

其中，基波平面電感的直流和交流分量系數L_DC1、L_AC1分別如下：

3次諧波平面電感的直流和交流分量系數L_DC3、L_AC3分別如下：

5次諧波平面電感的直流和交流分量系數L_DC5、L_AC5分別如下：

把基波平面上幅值為ψ_f1的永磁體磁鏈、3次諧波平面上幅值為ψ_f3的永磁體磁鏈、5次諧波平面上幅值為ψ_f5的永磁體磁鏈分別向各自平面的A～F軸線進行投影，然后對應軸線上的投影求和，即可得到A～F相繞組耦合的永磁體磁鏈ψ_Af～ψ_Ff分別如下：

式（2-108）左右兩邊對時間求導數，即可推導出A～F相繞組中的反電動勢如下：

根據電動機學中磁路耦合原理分析，定子各相繞組磁鏈等于自感磁鏈、他相對其產生的互感磁鏈及永磁體耦合磁鏈之和，而繞組電流產生的自感磁鏈及互感磁鏈可以用上述推導的電感與電流的乘積表示。所以，建立A～F相繞組磁鏈ψ_sA～ψ_sF數學模型如下：

繞組電阻壓降、繞組反電動勢之和與繞組端電壓u_sA～u_sF相平衡，從而建立繞組A～F電壓平衡方程式如下：

為了推導電磁轉矩表達式，需建立多相電動機的磁共能表達式。假設電動機磁路為線性磁路，則雙三相永磁同步電動機的磁共能如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE i_sF］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef ψ_Ff］T分別為定子電流及相繞組耦合永磁體磁鏈列矢量。式（2-112）兩邊對轉子位置角的機械角求偏微分得出電磁轉矩T_e如下：

其中

根據式（2-113）～式（2-117）可見，反電動勢中含有5次諧波后，兩套三相繞組5次諧波反電動勢對稱，所以電動機除了產生基波轉矩外，還包括5次諧波轉矩成分，使得該種電動機產生的轉矩更加靈活。反電動勢中雖然含有3次諧波，但若兩套繞組中心點不連接，則由于沒有3次諧波電流通路，3次諧波對轉矩沒有影響；若把兩套繞組中心點連接起來，則3次諧波電流具備流通通路，所以3次諧波會產生轉矩脈動。同時，從以上數學模型建立過程及結果可見，由于反電動勢含有諧波后，使得自然坐標系中的數學模型更加復雜，因此，如何進一步簡化該數學模型，更加方便電動機瞬時轉矩控制策略的構建，是實現該類型電動機高性能驅動控制的關鍵。

為此，采用坐標變換方法，把實際電動機模型映射到α₁β₁機電能量轉換基波平面、α₅β₅機電能量轉換5次諧波平面及α₃β₃非機電能量轉換平面。根據2.2節多相交流電動機多平面分解坐標變換理論，構建六相自然坐標系變量向α₁β₁α₅β₅α₃β₃的變換矩陣T₆，該變換同時遵循了變換前后系統功率不變原則。

式中，矩陣的第一、二行把基波和6k±1（k=2，4，6…）次諧波映射到α₁β₁平面上，矩陣的第三、四行把6k±1（k=1，3，5…）次諧波映射到α₅β₅平面上，矩陣的最后兩行把3k（k=1，2，3…）次諧波映射到α₃β₃平面上。同時滿足。

式（2-110）兩邊同時左乘變換矩陣T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸系下的定子磁鏈表達式如下：

其中，變量在α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸上分量用下角區分。

把式（2-98）電感矩陣L、變換矩陣T₆代入式（2-119）中，進一步推導得

式中，，分別為轉子永磁磁鏈在α₁β₁軸上的投影；，分別為轉子永磁磁鏈在α₃β₃軸上的投影；，分別為轉子永磁磁鏈在α₅β₅軸上的投影。L_σ=L_sσI₆，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3+L_sσ5。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，i_s5=［i_sα5 i_sβ5］T，ψ_r5=［ψ_rα5 ψ_rβ5］T，則L_θr1、L_θr3、L_θr5分別如下：

則式（2-120）進一步簡記為

式（2-111）兩邊同時左乘變換矩陣T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸系下的定子電壓表達式如下：

考慮磁路線性的情況下，電動機的磁共能如下：

所以電磁轉矩如下：

從式（2-127）可見，反電動勢含有5次諧波的五相對稱繞組永磁同步電動機機電能量轉換同時處于α₁β₁平面和α₅β₅平面上，電磁轉矩是兩個平面上的定子磁鏈矢量與定子電流矢量的叉乘之和；而由式（2-125）進一步可見，兩個平面上的定子磁鏈與該平面上的定子電壓和定子電流有關，若忽略定子電阻壓降，則各平面上的定子磁鏈直接由該平面的定子電壓控制。3次諧波平面不參與機電能量轉換，但兩套繞組中若有3次諧波流過，則會在總轉矩上產生轉矩脈動。