2.5.1 靜止坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

類似于2.3.1節(jié)的推導(dǎo)方法，建立電動(dòng)機(jī)的電感矩陣L如下：

其中，繞組自感L_ii（i=A～F），互感M_ij（i，j=A～F，且i≠j）的推導(dǎo)類似于2.3節(jié)和2.4節(jié)中的相關(guān)推導(dǎo)。

六個(gè)繞組自感推導(dǎo)結(jié)果如下：

式中，α=30°，L_sσ1為相繞組漏電感。

在忽略互漏感時(shí)，六個(gè)繞組互感推導(dǎo)結(jié)果如下：

其中，式（2-99）和式（2-100）中有關(guān)變量關(guān)系為L_smn=L_sm1/n,L_rsn=L_rs1/n。所以對(duì)應(yīng)的基波及諧波電感幅值L_sm1=0.5（L_dm1+L_qm1）,L_rs1=0.5（L_dm1-L_qm1）,L_sm3=0.5（L_dm1+L_qm1）/3,L_rs3=0.5（L_dm1-L_qm1）/3,L_sm5=0.5（L_dm1+L_qm1）/5，L_rs5=0.5（L_dm1-L_qm1）/5。

把式（2-99）和式（2-100）代入式（2-98）中，并化簡(jiǎn)結(jié)果如下：

其中，基波平面電感的直流和交流分量系數(shù)L_DC1、L_AC1分別如下：

3次諧波平面電感的直流和交流分量系數(shù)L_DC3、L_AC3分別如下：

5次諧波平面電感的直流和交流分量系數(shù)L_DC5、L_AC5分別如下：

把基波平面上幅值為ψ_f1的永磁體磁鏈、3次諧波平面上幅值為ψ_f3的永磁體磁鏈、5次諧波平面上幅值為ψ_f5的永磁體磁鏈分別向各自平面的A～F軸線進(jìn)行投影，然后對(duì)應(yīng)軸線上的投影求和，即可得到A～F相繞組耦合的永磁體磁鏈ψ_Af～ψ_Ff分別如下：

式（2-108）左右兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，即可推導(dǎo)出A～F相繞組中的反電動(dòng)勢(shì)如下：

根據(jù)電動(dòng)機(jī)學(xué)中磁路耦合原理分析，定子各相繞組磁鏈等于自感磁鏈、他相對(duì)其產(chǎn)生的互感磁鏈及永磁體耦合磁鏈之和，而繞組電流產(chǎn)生的自感磁鏈及互感磁鏈可以用上述推導(dǎo)的電感與電流的乘積表示。所以，建立A～F相繞組磁鏈ψ_sA～ψ_sF數(shù)學(xué)模型如下：

繞組電阻壓降、繞組反電動(dòng)勢(shì)之和與繞組端電壓u_sA～u_sF相平衡，從而建立繞組A～F電壓平衡方程式如下：

為了推導(dǎo)電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式，需建立多相電動(dòng)機(jī)的磁共能表達(dá)式。假設(shè)電動(dòng)機(jī)磁路為線性磁路，則雙三相永磁同步電動(dòng)機(jī)的磁共能如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE i_sF］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef ψ_Ff］T分別為定子電流及相繞組耦合永磁體磁鏈列矢量。式（2-112）兩邊對(duì)轉(zhuǎn)子位置角的機(jī)械角求偏微分得出電磁轉(zhuǎn)矩T_e如下：

其中

根據(jù)式（2-113）～式（2-117）可見，反電動(dòng)勢(shì)中含有5次諧波后，兩套三相繞組5次諧波反電動(dòng)勢(shì)對(duì)稱，所以電動(dòng)機(jī)除了產(chǎn)生基波轉(zhuǎn)矩外，還包括5次諧波轉(zhuǎn)矩成分，使得該種電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩更加靈活。反電動(dòng)勢(shì)中雖然含有3次諧波，但若兩套繞組中心點(diǎn)不連接，則由于沒有3次諧波電流通路，3次諧波對(duì)轉(zhuǎn)矩沒有影響；若把兩套繞組中心點(diǎn)連接起來，則3次諧波電流具備流通通路，所以3次諧波會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。同時(shí)，從以上數(shù)學(xué)模型建立過程及結(jié)果可見，由于反電動(dòng)勢(shì)含有諧波后，使得自然坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型更加復(fù)雜，因此，如何進(jìn)一步簡(jiǎn)化該數(shù)學(xué)模型，更加方便電動(dòng)機(jī)瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩控制策略的構(gòu)建，是實(shí)現(xiàn)該類型電動(dòng)機(jī)高性能驅(qū)動(dòng)控制的關(guān)鍵。

為此，采用坐標(biāo)變換方法，把實(shí)際電動(dòng)機(jī)模型映射到α₁β₁機(jī)電能量轉(zhuǎn)換基波平面、α₅β₅機(jī)電能量轉(zhuǎn)換5次諧波平面及α₃β₃非機(jī)電能量轉(zhuǎn)換平面。根據(jù)2.2節(jié)多相交流電動(dòng)機(jī)多平面分解坐標(biāo)變換理論，構(gòu)建六相自然坐標(biāo)系變量向α₁β₁α₅β₅α₃β₃的變換矩陣T₆，該變換同時(shí)遵循了變換前后系統(tǒng)功率不變?cè)瓌t。

式中，矩陣的第一、二行把基波和6k±1（k=2，4，6…）次諧波映射到α₁β₁平面上，矩陣的第三、四行把6k±1（k=1，3，5…）次諧波映射到α₅β₅平面上，矩陣的最后兩行把3k（k=1，2，3…）次諧波映射到α₃β₃平面上。同時(shí)滿足。

式（2-110）兩邊同時(shí)左乘變換矩陣T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸系下的定子磁鏈表達(dá)式如下：

其中，變量在α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸上分量用下角區(qū)分。

把式（2-98）電感矩陣L、變換矩陣T₆代入式（2-119）中，進(jìn)一步推導(dǎo)得

式中，，分別為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈在α₁β₁軸上的投影；，分別為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈在α₃β₃軸上的投影；，分別為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈在α₅β₅軸上的投影。L_σ=L_sσI₆，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3+L_sσ5。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，i_s5=［i_sα5 i_sβ5］T，ψ_r5=［ψ_rα5 ψ_rβ5］T，則L_θr1、L_θr3、L_θr5分別如下：

則式（2-120）進(jìn)一步簡(jiǎn)記為

式（2-111）兩邊同時(shí)左乘變換矩陣T₆，得到α₁β₁α₅β₅α₃β₃軸系下的定子電壓表達(dá)式如下：

考慮磁路線性的情況下，電動(dòng)機(jī)的磁共能如下：

所以電磁轉(zhuǎn)矩如下：

從式（2-127）可見，反電動(dòng)勢(shì)含有5次諧波的五相對(duì)稱繞組永磁同步電動(dòng)機(jī)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換同時(shí)處于α₁β₁平面和α₅β₅平面上，電磁轉(zhuǎn)矩是兩個(gè)平面上的定子磁鏈?zhǔn)噶颗c定子電流矢量的叉乘之和；而由式（2-125）進(jìn)一步可見，兩個(gè)平面上的定子磁鏈與該平面上的定子電壓和定子電流有關(guān)，若忽略定子電阻壓降，則各平面上的定子磁鏈直接由該平面的定子電壓控制。3次諧波平面不參與機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，但兩套繞組中若有3次諧波流過，則會(huì)在總轉(zhuǎn)矩上產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。