2.1 引言

建立控制系統的數學模型是分析和設計控制系統的首要工作。要實現對控制系統的分析和設計，首先就是要建立控制系統的數學模型。描述控制系統的輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式稱為數學模型。其中，在靜態條件下，描述變量之間關系的數學表達式稱為靜態數學模型，例如代數方程、靜態關系表等都是常見的靜態數學模型；描述各變量動態關系的數學表達式稱為動態數學模型，例如微分方程、差分方程、傳遞函數、頻率特性、狀態方程、動態結構圖等都是系統的動態數學模型。根據研究系統不同的方法，采用不同形式的數學模型。實際情況中，會遇到很多不同特性的系統，例如機械的、電氣的、氣動的、液壓的，甚至還有經濟學系統、氣象系統、生物學系統等，這些系統表面上雖然沒有任何相似和聯系，但是它們卻可能具有相同的動態數學模型，具有相同的運動規律，因此數學模型是反映實際系統的內在運動規律的一種數學抽象。

建立控制系統數學模型的方法有機理分析建模法和實驗建模法兩種。機理分析建模法也稱為解析法，就是分析系統元件各部分靜態關系和動態機理，然后根據它們所遵循的物理、化學定律（例如牛頓定律、基爾霍夫定律等）列寫出變量之間的數學表達式的方法。實驗建模法就是人為地給系統施加某種測試信號（例如脈沖信號、階躍信號、正弦信號等），記錄其輸出響應，然后選擇合適的數學表達式（微分方程、差分方程等）近似地描述、逼近、辨識這種響應，從而得到系統或被控對象的數學模型。一般情況下，對于一些結構簡單、容易分析運動機理的控制系統采用解析建模法，而對于結構復雜、難以分析其運動機理、非線性程度大的控制系統往往采用實驗建模法。

建立合理的數學模型對系統的分析研究至關重要，實際的控制系統都具有不同程度的非線性、時變特性，一般應根據系統的實際結構參數及分析結果所要求的精度，忽略一些次要因素，簡化系統數學模型結構，使數學模型既能準確反映系統的動態本質，又便于分析、計算。建模中最重要的簡化就是對非本質非線性數學模型的線性化，嚴格地講，實際物理系統都是非線性系統，只是非線性的程度不同而已。其中很多系統可以在一定條件下近似視為線性系統，線性系統滿足疊加原理，能使系統的設計與分析大為方便；其次是將分布參數、變化很緩慢的參數，作為集中參數、不隨時間改變的常數，做了這樣的合理簡化后，系統輸入、輸出及各中間變量都只是時間t的函數，所得到的是由線性常系數常微分方程描述的系統，即是本書研究的線性定常系統。