1.1.2 反射部分自由曲面的設計

計算了透射部分的曲面輪廓之后，繼續計算反射部分的曲面。如圖1-8所示，小角度區域的光線經過折射透鏡輸出，而角度大的光線先入射到S4面折射后到S5面，經S5面反射后，最終經S6面出射，假設S6面出射的光線都是平行于y軸。S1面的下面是個圓柱形的空腔，可以用來放LED光源。這里假設透射部分光線的角度范圍為0～A1，而反射部分的光線的角度區域為A1～P1，其中A1為折射部分和反射部分的分界角（見圖1-9），P1為最下邊緣的光線OF1與y軸的夾角，該區域內的光線按等角度間隔進行采樣，即任意一條采樣光線OFt與y軸夾角Pt都是已知的。第t條光線OFt入射到S4面上的Ft點的坐標為

式中，Pt為光源發出的光線OFt與y軸的夾角。如圖1-9所示，這里d為圓柱形空腔的半徑，d=htanα，α為折射部分和反射部分的分界角，即A1=α。h為e1點的縱坐標。

圖1-8 反射部分光路示意圖

圖1-9 透鏡的邊界條件示意圖

光線OFt經過S4面折射后照到了S5面，根據折射定律

式中，Qt為從S4面出射的光線Ftft與過Ft點法線矢量的夾角；n0和n1分別為空氣和介質的折射率。第1條光線OF1，經過S4面折射后照到S5面的起始點f1，要保證從f1點出射的光線剛好通過S2面邊緣點，因此f1的坐標為

x51=x21，y51=dcotP1+（x21-d）tanQ1 （1-15）

如圖1-10所示，光線OFt經過S4面折射后，入射到了S5面上的ft（x5t，y5t）點，光線Ftft的單位方向矢量為I5t，當光線Ftft入射到S5面的ft點上，經其反射之后的出射光線方向矢量為O5t，矢量O5t平行于y軸，曲面ft點處的法向矢量為N5t。I、O和N三者滿足反射定律，即

根據這個關系可以求出過S5面上ft點的切線斜率為

接下來構建S5面上相鄰采樣點ft和ft+1之間的迭代關系。如圖1-10所示，當獲得ft點的坐標（x5t，y5t）以后，如果S5面上采樣點的數量比較多，過ft點的切線與從Ft+1點出射的第t+1條采樣光線的交點可近似為ft+1點。過ft點的切線的斜率可以用Ft和ft的坐標來表示，如式（1-19）。

Ft+1ft+1的斜率可表示為

過ft點的切線的斜率為

圖1-10 構建反射面上相鄰兩個坐標點之間的迭代關系

聯立式（1-20）和式（1-21）可以得到

圖1-11 光學系統的二維輪廓