1.1.1 折射部分自由曲面的設計

圖1-4 透射部分示意圖

對于發散角比較小的光線采用折射式的準直系統，這里使用雙自由曲面構成的透鏡，如圖1-4所示。光線從O點發出，按等角度間隔取一系列的采樣光線，這些光線與光軸的夾角分別為A1，A2，…，Ai。這些光線與自由曲面S1的交點為e1，e2，…，ei，經過S1折射后與自由曲面S2的交點為E1，E2，…，Ei。透射部分由兩個自由曲面S1和S2構成。S1面上各點坐標為ei（x1i，y1i），S2面上各點坐標為Ei（x2i，y2i），e1點和E1點的縱坐標分別為y11=h，y21=H。其中下標中的第1個數字表示面的序號，而第2個數字表示該面上的坐標點的序號，以下規定類似。經過S1折射后的光線與光軸夾角分別為B1，B2，…，Bi。經過S2出射后的夾角分別為C1，C2，…，Ci。其中Ci按等角度依次遞減，計算方法為，為了使最終輸出的光發散角比較小，要求C1≤6°。這里Bi=ξ（Ai+Ci），其中ξ為分角比例因子，關于ξ的選取將在后面討論。S3面是一個目標面，位置可以任意選取，又因為Ci已知，所以S3面的各點坐標容易獲得。

構建S1面和S2面，就是獲得e1，e2，…，ei以及E1，E2，…，Ei一系列點的坐標過程，為了計算自由曲面S1和S2上任一個采樣點的坐標，需要推導自由曲面上相鄰兩個采樣點之間的迭代關系。如果這種迭代關系建立起來，知道ei點就可以計算出ei+1點，同理知道Ei點可以計算出Ei+1點。

先假設ei點和Ei點的坐標已知，分別為（x1i，y1i）和（x2i，y2i），如圖1-5所示，光線Oei經過ei點折射后，折射角為Bi，ei點處的法線矢量為N1i，根據折射定律的矢量形式

[1+n2-2n（Out·In）]1/2·N=Out-nIn （1-1）

其中

圖1-5 過自由曲面上任意點的法向矢量計算示意圖

可以求得過ei點的切線的斜率為

同樣也可以求得過Ei點的切線的斜率為

目標面S3上Mi點的坐標為（x3i，y3i）。

接下來構建S1面上相鄰采樣點ei和ei+1之間的迭代關系。如圖1-6所示，當獲得ei點的坐標（x1i，y1i）以后，如果S1面上采樣點的數量比較多，過ei點的切線與從O點出射的第i+1條采樣光線的交點可近似為ei+1點。過ei點的切線的斜率可以用ei和ei+1的坐標來表示為

ei+1點位于從O點出射的第i+1條采樣光線上，所以滿足

x1i+1=y1i+1tan（Ai+1） （1-6）

聯立式（1-5）和式（1-6）可以得到

圖1-6 曲面S1上相鄰兩采樣點迭代關系計算示意圖

從式（1-7）和式（1-8）可以看出ei+1點的坐標可以用ei點的坐標（x1i，y1i）、過ei點的切線斜率k1i以及第i+1條采樣光線與LED光源的法向夾角Ai+1來計算。

這樣就建立起來了曲面S1上相鄰采樣點ei和ei+1之間的迭代關系，知道曲面上任意點ei就可以得到相鄰點ei+1。在透鏡設計的初始條件中e1點的坐標就確定了（見圖1-4），這樣利用迭代關系式（1-7）和式（1-8）可以計算出曲面S1上所有點的坐標。

當獲得了曲面S1上所有點的坐標之后，接下來推導曲面S2上相鄰兩個采樣點Ei和Ei+1之間的迭代關系。假設Ei如圖1-7所示，從O點出射的第i+1條光線Oei+1經曲面S1折射后與過Ei點的切線的交點可看作是Ei+1。過Ei點的切線率可用式（1-4）獲得，該斜率也可用Ei點和Ei+1的坐標表示為

光線ei+1Ei+1的斜率可以用Ei+1和ei+1坐標表示為

聯立式（1-9）和式（1-10）可以得到

圖1-7 曲面S2上相鄰兩個采樣點迭代關系計算示意圖

從式（1-11）和式（1-12）可以看出Ei+1點的坐標可以用Ei點的坐標（x2i，y2i）、ei+1點的坐標（x1i+1，y1i+1）、過Ei點的切線斜率k2i以及光線ei+1Ei+1與LED光源的法向夾角Bi+1來計算。這樣就建立起來了曲面S2上相鄰采樣點Ei和Ei+1之間的迭代關系，知道曲面上任意點Ei就可以得到相鄰點Ei+1。在透鏡設計的初始條件中E1點的坐標就確定了（見圖1-4），這樣利用迭代關系式（1-11）和式（1-12）可以計算出曲面S2上所有點的坐標。