3.3 向心葉輪出口滑移系數的計算方法

目前，可以采用試驗測量、葉輪數值計算和簡單的解析計算等方法得到滑移系數。前兩種方法需要完整的葉輪幾何信息和復雜的操作，才能得到滑移系數，不便于設計初始階段或選型使用。解析計算則通過簡單的葉輪內部環流分析和適當的假設得到滑移系數，需要葉輪幾何信息少，又有一定的準確性，便于工程應用，因此本章采用這種方法。

葉輪的流動滑移主要是由葉輪旋轉引起的，因此可以僅考慮葉輪進、出口用圓柱面封閉起來的漩渦強度為2ω的二維有勢流動，即相對渦流或軸向漩渦或相對環流，如圖3?7所示。該環流在葉輪進口和出口邊引起的誘導速度分別就是進口和出口的滑移速度。從流體力學角度，需要采用數值方法求解流函數的Poisson方程或勢函數的Laplace方程才能得到圖3?7所示的環狀流線和等勢線[30]。

為了便于解析計算，假設環流的漩渦中心O是∠DAB、∠ABC和∠BCD平分線的交點，這些角平分線本身是等勢線，葉片工作面AD、背面BC、進口AB和出口DC上的漩渦誘導速度各自等于常數。

圖3?7 軸向漩渦

注：t1為流道進口AB的長度（m）；t2為流道出口CD的長度（m）；β1為葉片進口角（°）；β2為葉片出口角（°）。下同。

然后取含有葉片工作面AD或背面BC或進口AB或出口DC流線及等勢線所圍成的曲線的速度線積分。根據斯托克斯定理（即在渦量場中沿任意封閉曲線的速度環量與以該曲線為周界所圍曲面上的渦通量相等）計算該流線上的流體速度，其中進口AB或出口DC上的流速分別是進口和出口滑移速度。

由于OD不是等勢線，所以計算葉輪出口滑移速度Δvu2遇到了困難。取環線ADCO做速度線積分，結果流線AD的未知速度ΔvCD也出現在斯托克斯定理的方程中，造成了一個方程兩個未知數無法求解的局面。

為此，必須對Δvu2和ΔvCD之間的關系做進一步分析和假設。本章中提出四種不同的假設：

假設一：假設AD上的誘導速度ΔvCD等于DC上的誘導速度Δvu2，即ΔvCD=Δvu2；

假設二：假設AD上的誘導速度ΔvCD與DC上的誘導速度Δvu2存在一比值k，且k等于曲邊三角形ADO的面積除以曲邊三角形DOC的面積，即；

假設三：過D點作曲線DE，使DE⊥OC，垂足為E，假設該曲線DE與軸向漩渦的流線相垂直。

假設四：假設在液力透平的向心葉輪流道內其相對速度沿葉片工作面從葉輪進口到出口均勻變化。

下面具體給出四種假設條件下滑移系數的計算方法。

1.方法一

為了計算，過點O分別做OF⊥AD，OG⊥BC，垂足分別為點F、點G。由斯托克斯定理可知，封閉曲線DCOAD上的速度環量

式中 ω——葉輪內軸向漩渦的角速度（rad/s），其方向與葉輪的轉向相反，而大小與葉輪的旋轉角速度相等；

df——軸向漩渦渦管的微元面積（m2）；

SDCOA——曲線DCOAD所圍成的曲面面積（m2）。

軸向漩渦強度是均勻分布的，所以速度環量

ΓDCOAD=2ωSDCOA （3?8）

假設AD上的誘導速度ΔvCD等于DC上的誘導速度Δvu2，即ΔvCD=Δvu2，則

ΓDCOAD等于封閉圍線DCOAD的每段圍線環量之和，CO線和AO線均與軸向漩渦流線相垂直，因此沿這兩條曲線的速度環量ΓCO、ΓOA均為0，于是有

由上式可知

又 SDCOA=SΔADO+SΔODC （3?11）

式中r1、r2分別為葉輪進出口半徑（m），下同。

在曲邊四邊形ADCO和曲邊三角形ABO中，CO線、BO線和AO線均垂直于軸向漩渦的流線，因此

所以：可見，曲邊三角形ABO為直角曲邊三角形，且有

所以

將式（3?13）、式（3?14）代入式（3?12）

又

所以

將式（3?17）、式（3?19）代入式（3?16）

將式（3?15）、式（3?20）代入式（3?11）

將式（3?13）、式（3?21）代入式（3?10）

所以葉輪出口邊上的誘導速度，即滑移量

又，，z為葉片數，則

設在假設一的條件下得到的液力透平葉輪出口的滑移系數為λ1，則

2.方法二

假設AD上的誘導速度ΔvCD與DC上的誘導速度Δvu2存在一比值k，且k等于曲邊三角形ADO的面積除以曲邊三角形DOC的面積，即。

則有

所以

即有

所以葉輪出口邊上的誘導速度，即滑移量

設在假設二的條件下得到的液力透平葉輪出口的滑移系數為λ2，則

3.方法三

假設曲線DE與軸向漩渦的流線相垂直，則有

ΓDC=ΓDECD=2ωSΔDEC（3?31）

又

所以

將式（3?32）代入式（3?31）

所以葉輪出口邊上的誘導速度，即滑移量

設在假設三的條件下得到的液力透平葉輪出口的滑移系數為λ3，則

4.方法四

在圖3?8中為求解SDCOA，曲邊四邊形ADCO被近似的四邊形A′D′C′O′所代替，曲邊三角形ABO被近似的三角形A′B′O′所代替，如圖3?8所示。

圖3?8 近似圖形

a）近似的三角形A′B′O′b）近似的四邊形A′D′C′O′

過O′作O′E′⊥A′D′于點E′，過C′作C′O″⊥O′E′交于E′O′的延長線于點O″，然后過D′作D′D″⊥O″C′于點D″，交O′C′于點F′。

在曲邊四邊形ADCO和曲邊三角形ABO中，CO線、BO線和AO線均與軸向漩渦流線相垂直，因此

所以

可見，三角形A′B′O′為直角三角形。令A′B′=t1，C′D′=t2，則有

在四邊形A′D′C′O′中

因此圖3?8b中的直角三角形A′E′O′的面積

又在直角梯形E′D′C′O″中

由于ΔC′D″F′與ΔC′O′O″相似，則有：

所以：

經整理，得

因此圖3?8b中直角梯形O″E′D′C′的面積

經整理，得

又圖3?8b中直角三角形O″O′C′的面積

經整理，得

所以在圖3?8b中四邊形O′E′D′C′的面積

經整理，得

因此曲線DCOAD所圍的面積

經整理，得

令，則

將式（3?36）代入式（3?8）

ΓDCOAD等于封閉圍線每段圍線環量之和，于是有

ΓDC=ΓDCOAD-ΓAD （3?37）

由于Δw在距離葉片較近處較小，而在兩葉片的中間位置較大，所以可假設在液力透平的葉輪流道內其相對速度沿葉片工作面從葉輪進口到出口均勻變化。因此在計算ΓAD時可取葉輪進出口相對速度的平均值wAD。

即

又

所以邊AD上的環量

由進出口速度三角形可知

所以

即邊DC上的環量

所以在圓周速度方向上，當葉片數有限時，葉片出口的絕對速度分量的偏移量即液流的滑移量

又，，則

設在假設四的條件下液力透平葉輪出口的滑移系數為λ4，則

經整理，得

式（3?39）中的

式中r1、r2——分別為葉輪進出口的半徑（m）； z——葉輪葉片數； vm1——在有限葉片數下葉片進口的絕對速度的軸面分量（m/s），，且D1=2r1為葉輪的進口直徑（m）；b1為葉片的進口寬度（m）；ηv為液力透平的容積效率；Q為透平流量（m3/s）；ψ1為葉片進口排擠系數，，γ1為軸面截線與軸面流線的夾角（°），一般γ1=60°～90°；δ1為葉片進口的真實厚度（m）；vm2——在有限葉片數下葉片出口的絕對速度的軸面分量（m/s），且F2為葉片出口軸面液流的過水斷面面積（m2），F2=2πRb，b、R分別為在葉輪的軸面投影圖中小流道的寬度和半徑（m）；ψ2為葉片出口的排擠系數，取ψ2=0.85。