2.6.2 非均勻場擊穿模型

在上節均勻場擊穿模型的基礎上，進一步建立非均勻場中的擊穿模型。微粒擊穿的物理過程與均勻場中類似，如圖2-16所示。

在非均勻場中，電場強度E與真空間施加的電壓U之間的關系為

式中 β——場致增強系數。

場致增強系數包括微觀場致增強系數βm和宏觀場致增強系數βg。本節假設微觀場致增強系數為常數，所以主要討論宏觀場致增強系數，即幾何場致增強系數βg。因為假設引起擊穿的微粒位于電場強度最強的地方，所以擊穿場強表示為

式中 βmax——宏觀場致增強系數的最大值。

由于不同的滅弧室與觸頭結構空間電場分布不同，場致增強系數也不同。本實驗采用的觸頭模型，觸頭直徑為60mm，觸頭邊緣倒角為6mm，可以通過仿真得到不同觸頭間隙距離下觸頭間的電場分布，進而得到不同觸頭間隙距離下宏觀場致增強系數。圖2-17是開距為50mm時的宏觀場致增強系數的典型分布圖。

圖2-17 開距為50mm時的宏觀場致增強系數的典型分布圖

將數值仿真獲得的不同觸頭間隙距離下的宏觀場致增強系數的最大值βmax與觸頭間隙距離d之間關系進行線性擬合可以得到

βmax=0.3017d0.5435 （2-32）

將式（2-32）代入式（2-31）可以得到

將式（2-33）代入式（2-21），則可以得到非均勻場下真空間隙擊穿時的臨界擊穿電壓為

Uc=C4d0.2283 （2-34）

式中 C4=1.82C3。

在此基礎上對沖擊電壓作用下的微粒擊穿過程進行分析，波頭的電壓上升速率為定值α，假設擊穿發生在波頭，即沖擊電壓的上升沿，微粒開始運動的時刻遵循Cranberg的微粒擊穿的假設，即認為達到Cranberg定義的臨界值時，微粒脫離母體電極向對面電極移動。

首先微粒在真空間隙飛行過程中受力滿足

式中 mp——微粒質量；

t——微粒脫離母體電極后的時間；

x（t）——t時刻，微粒離開母體觸頭的距離；

U（t）——t時刻電壓瞬時值；

Qp——微粒所帶電量；

d——觸頭間隙距離。

假設沖擊電壓是勻速上升的，且上升率為α，則瞬時電壓U（t）可表示為

U（t）=Uc+αt （2-36）

式中 Uc——擊穿的臨界值。

將式（2-36）代入式（2-35）得到

式（2-35）滿足初始條件，x（0）=0，x（td）=d，，對兩邊進行積分得到

對上式兩邊再次積分得到

當x=d時，，其中Ub為擊穿時刻的瞬時電壓值，代入式（2-38）得

將式（2-40）進行化簡得

式中

所以Qp滿足

將式（2-42）～式（2-45）代入式（2-41）得

根據卡丹爾求解公式x3+px+q=0，其實數解為

對于ε0=8.85×10-12F/m，α≈100kV/1.2μs，ρp=8.9×103kg/m3，Uc≈100kV，rp≈10μm，則，則可以對式（2-47）簡化得到高電壓等級真空滅弧室在沖擊電壓作用下非均勻場中擊穿電壓與觸頭間隙距離之間的滿足下式：

式中 C3——與觸頭形狀、電場分布、觸頭材料以及微粒尺寸等有關的定值。

以本章大量實驗數據為基礎，對本模型進行了對比分析，比較結果如圖2-18所示。從圖中可以看到，沖擊電壓作用下非均勻場中的擊穿模型與實驗結果較為吻合，而擊穿電壓在一定程度上可以反映擊穿過程，說明該真空滅弧室在沖擊電壓作用下非均勻場中的擊穿模型具有一定的合理性。

圖2-18 實驗結果與理論模型對比圖

以上基于Cranberg的真空間隙微粒擊穿理論（均勻場、直流電壓下），提出了高電壓等級真空滅弧室擊穿過程的物理模型（非均勻場，雷電沖擊電壓下），并與實驗結果進行了比較，所得到的結論如下：

1）基于Cranberg的微粒擊穿理論，建立了真空間隙在沖擊電壓作用下均勻場中擊穿過程的物理模型，得到了電壓UB與觸頭間隙距離d之間的關系滿足UB∝d0.8。

2）基于以上擊穿模型，建立了高電壓等級真空滅弧室在沖擊電壓作用下非均勻場中的真空擊穿的物理模型，得到了擊穿電壓UB與觸頭間隙距離d之間的關系為UB∝d0.74；

3）通過沖擊擊穿實驗得到了高電壓等級真空滅弧室在非均勻場中擊穿電壓UB與觸頭間隙距離d之間的關系為：U50∝dα，其中α為0.70～0.79。而對于所建立的沖擊電壓作用下非均勻場中的物理模型，其擊穿電壓UB與觸頭間隙距離d之間關系為：UB∝d0.74，這一結果證明了所建立的物理模型的正確性。