第三節 傳感器的動態特性
一、研究傳感器動態特性的方法
動態特性是指傳感器對隨時間變化的輸入量的響應特性。在實際應用中，傳感器所檢測的大多是隨時間變化的物理量。只要輸入量是時間的函數，輸出量也應該是時間的函數。性能優良的傳感器的輸出量隨時間變化的曲線應與輸入量隨時間變化的曲線相一致，即無失真地再現輸入信號。但實際測試中經常會發現兩者之間存在差異，這種差異可以認為是動態測量誤差。因此，僅僅考慮傳感器的靜態特性參數是不夠的，還需要對傳感器的動態特性進行研究，其目的在于更清楚地了解和掌握傳感器能否正確反映輸入信號的變化以及如何減小動態測量誤差等。在研究傳感器的動態特性中所應用的理論是系統論的知識，即把傳感器視為系統，把輸入量視為輸入信號，輸出信號視為系統的響應信號，這樣就可以把傳感器的動態特性模型描述為線性微分方程。為簡化線性微分方程的求解，用拉普拉斯變換將時域的模型轉換為復數s域的數學模型——傳遞函數。有關知識已在自動控制原理和信號分析與處理等課程中學習，本書中只對與傳感器有關的內容進行介紹。
傳感器的輸入信號即實際被測量隨時間變化的形式可能是多種多樣的，但在研究動態特性時不能這樣考慮。通常，根據標準輸入來研究傳感器的動態響應特性。常用的標準輸入有正弦輸入和階躍輸入。與正弦輸入對應的動態響應稱為頻率響應，而與階躍輸入對應的動態響應稱為時間響應或瞬態響應。
二、傳感器的動態特性模型
精確地建立傳感器的動態特性模型是困難的，故通常近似地把傳感器看作是線性定常系統，用高階常系數線性微分方程來表示輸入-輸出關系，即
式中，y為輸出量；x為輸入量；t為時間；a0,a1,…,an和b0,b1,…,bm為常數。
可以由式（1-6）求解動態特性，但對于高階系統和復雜輸入信號時由式（1-6）求解將是非常困難的事情。因此，應用工程控制論的方法如傳遞函數和拉普拉斯變換方法將使這一問題得到很好的解決。
三、傳遞函數
（一）傳遞函數的表達式
零初始條件下，輸出信號y（t）的拉普拉斯變換Y（s）與輸入信號x（t）的拉普拉斯變換X（s）之比稱為系統的傳遞函數，記為H（s），即
對式（1-6）進行拉普拉斯變換，則有
由式（1-8）可知，等式右端是一個與輸入無關的表達式，它只與傳感器的結構參數有關，因此，它是傳感器特性的表達式。而且，Y（s）、X（s）、H（s）三者中只要知道任意兩個，第三個便可容易求解。這為了解復雜系統的信息特性創造了方便的條件。
（二）一階傳感器的傳遞函數
可用一階微分方程描述的傳感器稱為一階傳感器，其微分方程可表達為
其傳遞函數為
式中，k為靜態靈敏度，k=b0/a0；τ為時間常數，τ=a1/a0。
（三）二階傳感器的傳遞函數
可用二階微分方程描述的傳感器稱為二階傳感器，其微分方程可表達為
其傳遞函數為
式中，k為靜態靈敏度，k=b0/a0；ωn為固有頻率，
；ζ為阻尼比，
。
四、正弦輸入與頻率響應
（一）頻率響應的表達式
當輸入正弦信號x（t）=Asinωt并且經過一定時間進入穩定狀態后，輸出信號也是正弦信號，只是幅值與輸入信號的幅值不等且有相位差。但即使輸入信號的幅值不變，只要ω變化，輸出信號的幅值和相位都會隨之發生變化，即y（t）=Bsin（ωt+φ）。所謂頻率響應就是在這種穩定狀態下幅值的比B/A，以及相位差φ隨ω的變化而變化的特性。
對于線性定常系統，可以用傅里葉變換代替拉普拉斯變換，在正弦輸入的情況下，即在傳遞函數式中用jω代替s，相應地有
由式（1-13）可知，頻率響應特性H（jω）是頻率ω的函數，一般為復數，因此，也可以將H（jω）表示為H（ω），即
式中，A（ω）為H（ω）的模；φ（ω）為H（ω）的輻角。
A（ω）-ω曲線稱為幅頻特性曲線，φ（ω）-ω曲線稱為相頻特性曲線。
（二）一階傳感器的頻率響應
根據式（1-10）所表達的一階傳感器的傳遞函數，可求得其頻率響應為
其幅頻特性為
相頻特性為
如圖1-9所示為一階傳感器的頻率特性。
（三）二階傳感器的頻率響應
根據式（1-12）可求得二階傳感器的頻率響應為
圖1-9 一階傳感器的頻率特性
a）幅頻特性 b）相頻特性
幅頻特性為
相頻特性為
二階傳感器的頻率特性曲線如圖1-10所示。
圖1-10 二階傳感器的頻率特性
a）幅頻特性 b）相頻特性
五、階躍輸入與時間響應
一般認為，階躍輸入對傳感器來說是最嚴峻的，若在階躍輸入作用下傳感器能滿足動態指標要求，則在其他形式的輸入作用下，其動態性能指標也一定能滿足要求。
設單位階躍信號為
信號波形如圖1-11a所示，其拉普拉斯變換為
（一）一階傳感器的階躍響應
根據傳遞函數可得
對式（1-21）進行拉普拉斯反變換，得
一階傳感器的階躍響應曲線如圖1-11b所示。
圖1-11 一階傳感器的階躍響應
a）單位階躍信號 b）一階傳感器的階躍響應曲線
（二）二階傳感器的階躍響應
根據式（1-12）可得二階傳感器階躍響應的拉普拉斯變換式為
二階傳感器的階躍響應曲線如圖1-12所示。由于阻尼比ζ的不同，其響應結果有很大差別。因此，有必要根據阻尼比的大小展開討論。
圖1-12 二階傳感器的階躍響應曲線
1）當0<ζ<1時，為衰減振蕩情形。通過對式（1-23）進行拉普拉斯反變換可得
式中，
。
2）當ζ=0時，為無阻尼情形，即為一等幅振蕩過程，振蕩頻率為傳感器的固有頻率。工程實際應用中的傳感器不會出現這種情況。
3）當ζ=1時，為臨界阻尼情形。可解得
式（1-25）表明，當ζ=1時，傳感器系統既無超調也無振蕩。
4）當ζ>1時，為過阻尼情形。此時的二階傳感器已蛻化成慣性環節，具有類似于一階傳感器的特性曲線。
根據以上分析可知，阻尼比對傳感器的特性有很大影響，因此，結合工程實踐經驗，通常將二階傳感器設計成欠阻尼系統，阻尼比的取值范圍為0.6～0.8時可以獲得較為合適的綜合特性。另外，傳感器的固有頻率ωn也是一個非常重要的參數，設計時通常要求ωn應至少高于被測信號頻率ω的3～5倍，否則可能有被測信號的頻率分量丟失。