2.2　流體力學的控制方程　

任何流動都必須遵守三個基本的物理守恒定律，即質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律。若流動包含有不同成分（組元）的混合或相互作用，系統還需遵守組分守恒定律；若流動處于湍流狀態，系統還需遵守附加的湍流輸運方程。

控制方程是對這些守恒定律的數學描述。本節先介紹這些基本守恒定律所對應的控制方程。

2.2.1　質量守恒方程

任何流動問題都必須滿足質量守恒定律，該定律可表述為：單位時間內流體微元體中質量的增加等于同一時間間隔內流入該微元體的凈質量。按照質量守恒這一定律，可以得出質量守恒方程，即

　　（2.4）

引入矢量符號div（a）=?a_x/?x+?a_y/?y+?a_z/?z，式（2.4）可寫成：

　　（2.5）

有的文獻使用符號表示散度，即·a=div（a）=?a_x/?x+?a_y/?y+?a_z/?z，這樣，式（2.4）可寫成：

　　（2.6）

式中　ρ——密度；

t——時間；

u——速度矢量。

u、v、w——速度矢量u在x、y和z方向的分量。

上面給出的是瞬態三維可壓流體的質量守恒方程。若流體不可壓，密度ρ為常數，式（2.4）變為：

　　（2.7）

若流動處于穩態，則密度ρ不隨時間變化，式（2.4）變為：

　　（2.8）

質量守恒方程式（2.4）或式（2.5）稱為連續方程。

2.2.2　動量守恒方程

動量守恒定律也是任何流動問題都必須滿足的基本定律。該定律實際上是牛頓第二定律，可表述為：微元體中流體的動量對時間的變化率等于外界作用在該微元體上的各種力之和。按照這一定律，可導出x、y和z三個方向的動量守恒方程：

　　（2.9a）

　　（2.9b）

　　（2.9c）

式中　p——流體微元體上的壓力；

——因分子黏性作用而產生的作用在微元體表面上的黏性應力τ的分量；

F_x、F_y、F_z——微元體上的體積力，若體積力只有重力，且z軸豎直向上，則F_x=0，F_y=0，F_z=ρg。

式（2.9）是對任何類型的流體（包括非牛頓流體）均成立的動量守恒方程。對于牛頓流體，黏性應力τ與流體的變形率成比例，即

　　（2.10）

式中　μ——動力黏度；

λ——第二黏度，一般可取。

將式（2.10）代入式（2.9），得

　　（2.11a）

　　（2.11b）

　　（2.11c）

式中，grad（）=?（）/?x+?（）/?y+?（）/?z；S_u、S_v和S_w為動量守恒方程的廣義源項，S_u=F_x+s_x，S_v=F_y+s_y和S_w=F_z+s_z，其中s_x、s_y和s_z的表達式如下：

　　（2.12a）

　　（2.12b）

　　（2.12c）

一般來講，s_x、s_y和s_z是小量，對于黏性為常數的不可壓流體，s_x=s_y=s_z=0。

式（2.11）還可寫成如下的展開形式：

　　（2.13a）

　　（2.13b）

　　（2.13c）

式（2.11）～式（2.13）為動量守恒方程，簡稱動量方程，也稱為運動方程，還稱為納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（簡稱N-S方程）。

2.2.3　能量守恒方程

能量守恒定律是包含有熱交換的流動問題必須滿足的基本定律。該定律實際是熱力學第一定律，可表述為：微元體中能量的增加率等于進入微元體的凈熱流通量加上體積力與表面力對微元體所做的功。

流體的能量E通常是內能i、動能和勢能P三項之和，可對總能量E建立能量守恒方程。但是，這樣得到的能量守恒方程并不是很好用，一般是從中扣除動能的變化，從而得到關于內能i的守恒方程。而內能i與溫度T之間存在一定關系，即i=c_pT，其中c_p是定壓比熱容。這樣，可得到以溫度為變量的能量守恒方程：

　　（2.14）

式（2.14）還可寫成展開形式：

　　（2.15）

式中　c_p——定壓比熱容；

T——溫度；

k——流體的傳熱系數；

S_T——流體的內熱源及由于黏性作用流體機械能轉換為熱能的部分，有時S_T簡稱為黏性耗散項。

一般將式（2.14）或式（2.15）簡稱為能量方程。綜合基本方程式（2.5）、式（2.11a）、式（2.11b）、式（2.11c）、式（2.14），共有u、v、w、p、T和ρ6個未知量，還需要補充一個聯系p和ρ的狀態方程，方程組才能封閉，即

　　（2.16）

對理想氣體，狀態方程為

　　（2.17）

式中　R——摩爾氣體常數。

需要說明，雖然能量方程式（2.14）是流體流動與傳熱問題的基本控制方程，但對于不可壓流動，若熱交換量很小以至可以忽略，可不考慮能量守恒方程。這樣，只需要聯立求解連續方程式（2.5）及動量方程式（2.9a）、式（2.9b）和式（2.9c）。

注意：式（2.14）是針對牛頓流體得到出的，對于非牛頓流體應使用另外形式的能量方程。

2.2.4　組分質量守恒方程

在一個特定的系統中，可能存在質的交換，或者存在多種化學組分，每一種組分都需要遵守組分質量守恒定律。對于一個確定的系統而言，組分質量守恒定律可表述為：系統內某種化學組分質量對時間的變化率，等于通過系統界面凈擴散通量與通過化學反應產生的該組分的生產率之和。

根據組分質量守恒定律，可寫出組分s的組分質量守恒方程：

　　（2.18）

式中　c_s——組分s的體積濃度；

ρc_s——該組分的質量濃度；

D_s——該組分的擴散系數；

S_s——系統內部單位時間內單位體積通過化學反應產生的該組分的質量，即生產率。

式（2.18）等號左側第一項、第二項分別稱為時間變化率、對流項；等號右側第一項、第二項分別稱為擴散項、反應項。各組分質量守恒方程之和就是連續方程，因為∑S_s=0。因此，如果共有z個組分，那么只有z-1個獨立的組分質量守恒方程。

將組分守恒方程各項展開，式（2.18）可改寫為：

　　（2.19）

組分質量守恒方程常簡稱為組分方程。一種組分的質量守恒方程實際就是一個濃度傳輸方程。當水流或空氣在流動過程中帶有某種污染物質時，污染物質在流動情況下除有分子擴散外還會隨流傳輸，即傳輸過程包括對流和擴散兩部分，污染物質的濃度隨時間和空間變化。因此，組分方程在有些情況下稱為濃度傳輸方程，或濃度方程。

2.2.5　湍流的控制方程

湍流是自然界非常普遍的流動類型，湍流運動的特征是在運動過程中液體質點具有不斷的互相混摻的現象，速度和壓力等物理量在空間和時間上均具有隨機性質的脈動值。

式（2.11）是三維瞬態N-S方程，無論對層流還是湍流都是適用的。但對于湍流，如果直接求解三維瞬態的N-S方程，需要采用對計算機內存和速度要求很高的直接模擬方法，但目前還不可能在實際工程中采用此方法。工程中廣為采用的方法是對瞬態N-S方程做時間平均處理，同時補充反映湍流特性的湍流模型方程，如常用的湍流方程k-ε，即湍動能方程k和湍流耗散率方程ε等。

湍動能k方程為：

　　（2.20a）

湍流耗散率ε方程為：

　　（2.20b）

式中　σ_k、σ_ε、C₁；C₂——常數；

μ_t——湍流黏度；

C_μ——常數。

2.2.6　控制方程的通用形式

為了便于對各控制方程進行分析，并用同一程序對各控制方程進行求解，現建立各基本控制方程的通用形式。

比較連續方程式（2.5）、動量方程式（2.11）、能量方程式（2.14）、組分方程式（2.18）和湍流方程式（2.20）等的控制方程，可以看出，盡管這些方程中因變量各不相同，但它們均反映了單位時間單位體積內物理量的守恒性質。如果用?表示通用變量，則上述各控制方程都可以表示成如下的通用形式：

　　（2.21）

式（2.21）的展開形式為

　　（2.22）

式中　?——通用變量，可以代表u、v、w、T等求解變量；

Γ——廣義擴散系數；

S——廣義源項。

式（2.21）中各項依次為瞬態項、對流項、擴散項和源項。對于特定的方程，?、Γ和S具有特定的形式，表2.1給出了上述3個符號與各特定方程的對應關系。

所有控制方程都可經過適當的數學處理，將方程中的因變量、時變項、對流項和擴散項寫成標準形式，然后將方程右端的其余各項集中在一起定義為源項，從而化為通用微分方程。只需考慮通用微分方程式（2.21）的數值解，寫出求解式（2.21）的源程序，就足以求解不同類型的流體流動及傳熱問題。對于不同的?，只要重復調用該程序，并給定Γ和S的適當表達式以及適當的初始條件和邊界條件，便可求解。

2.2.7　守恒型控制方程與非守恒型控制方程

在前面各基本控制方程及式（2.21）所代表的通用控制方程中，對流項均采用散度的形式表示，各物理量都在微分符號內。在許多文獻中，這種形式的方程稱為控制方程的守恒形式或守恒型控制方程。

近年來，在許多文獻中還常見到非守恒型控制方程。將式（2.21）的瞬態項和對流項中的物理量從微分符號中移出，式（2.21）所代表的通用控制方程可寫成為

　　（2.23）

式（2.23）即為通用控制方程的非守恒形式，或稱非守恒型控制方程。

從微元體的角度看，控制方程的守恒型與非守恒型是等價的，都是物理守恒定律的數學表示。但對有限大小的計算體積，兩個形式的控制方程是有區別的。非守恒型控制方程便于對由此生成的離散方程進行理論分析，而守恒型控制方程更能保持物理量守恒的性質，便于克服對流項非線性引起的問題，且便于采用非矩形網格離散，可更為方便地建立基于有限體積法的離散方程，因此得到了廣泛的應用。

本書主要使用守恒型控制方程來建立基于有限體積法的離散方程。