3.1.3　宏觀混合的其它指標(biāo)

很早以前,Danckwerts PV(1952)就定義了另外兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述流動(dòng)反應(yīng)器中的混合程度:離集尺度(scale of segregation)S(t)和離集強(qiáng)度(intensity of segregation)I(t),前者指不同濃度的團(tuán)塊相距遠(yuǎn)近的平均值,后者是所有團(tuán)塊間濃度差的均方差。一般說(shuō)來(lái),二者均隨混合操作進(jìn)行而下降。圖3.5中的兩條曲線表示兩個(gè)攪拌系統(tǒng)中離集尺度S(t)減小的速度不同。系統(tǒng)1的S能漸進(jìn)地下降到湍流Kolmogorov尺度λ_K(宏觀混合的終點(diǎn)),所需的時(shí)間即可定義為宏觀混合時(shí)間t_m(曲線1)。系統(tǒng)2的混合能力弱(曲線2),需要更長(zhǎng)的混合時(shí)間,S才能下降到接近λ_K的尺度。在層流體系中,尤其是高黏度和非牛頓體系中,混合過程缺少湍流渦團(tuán)運(yùn)動(dòng)這一強(qiáng)有力的機(jī)理,只能靠流場(chǎng)中的剪切作用來(lái)使流體變形、拉伸,達(dá)到要求的宏觀混合程度。設(shè)備不規(guī)則的幾何形狀,使流場(chǎng)中流動(dòng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,如流線彎曲、尾渦等,誘導(dǎo)產(chǎn)生的二次流動(dòng)、流場(chǎng)的混沌特性等,也有利于減小離集尺度。

Danckwerts考慮兩種液體A和B構(gòu)成的不均勻體系,其局部的濃度(體積分?jǐn)?shù))分別為y_A和y_B,域中各處均有y_A+y_B=1,且+=1。可用相距r的兩點(diǎn)上A的濃度y₁和y₂距平均值之差的乘積(y₁-)(y₂-),表示此兩點(diǎn)的局部不均勻程度。在體系中取大量皆相距r的點(diǎn)對(duì)所得的均值,除以其均方差,則定義為相距r的兩點(diǎn)間濃度的相關(guān)系數(shù):

R(r)==?(3.6)

Danckwerts認(rèn)為R(r)值在0和1之間,r大到一定距離,則兩點(diǎn)間的濃度相差程度會(huì)小于隨機(jī)波動(dòng),R(r)會(huì)接近于0,此距離ξ與離集尺度S正相關(guān)。Danckwerts直觀地定義離集尺度為(圖3.6):

S=R(r)dr=R(r)dr(3.7)

這是一維濃度場(chǎng)中的定義,在二維和三維場(chǎng)中也可類似地定義(Danckwerts PV,1952)。

然而,濃度場(chǎng)的離集特征也可用溶液中溶質(zhì)A濃度分布c_A(x)在x_a點(diǎn)附近的自相關(guān)系數(shù)來(lái)表示(毛在砂,2015):

R(r)=(3.8)

積分域?yàn)?i>x_a附近、比離集尺度大得多的鄰域[x_a-L,?x_a+L]。這是一維空間的計(jì)算公式。若鄰域是整個(gè)區(qū)間,則此自相關(guān)系數(shù)是全局性質(zhì)。由于濃度始終大于或等于0,故R(r)總在0與1之間。

對(duì)二維濃度場(chǎng)的情形,自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算式為域面積A上的面積分:

R(r)=(3.9)

式中,x_a-x=r,即x和x_a兩點(diǎn)間距保持為常數(shù)r。x和x_a在平面域Ω中的可行域上取值。積分域的大小決定了所得的自相關(guān)系數(shù)是局部值還是全局值。

也可以按Danckwerts的定義法,以局部濃度對(duì)平均值之差來(lái)計(jì)算自相關(guān)系數(shù):

R(r)=(3.10)

以二維周期性的濃度分布為例[圖3.7(a)],取濃度場(chǎng)中100×100的矩形域(長(zhǎng)度為相對(duì)值)為積分域,濃度c在1和5之間有規(guī)律地分布。按式(3.9)計(jì)算的自相關(guān)系數(shù)的數(shù)值在1和0.5098之間,原點(diǎn)以外R(r)的極大值為1。若按式(3.10)計(jì)算的R(r)用等高線表示于圖3.7(b)。自相關(guān)系數(shù)在-0.5103~1之間。圖3.7(b)中r=0處R(r)=0,在此點(diǎn)的周圍,R(r)有許多局部極大值點(diǎn),例如a點(diǎn)和b點(diǎn)都是。這說(shuō)明,若沿不同的空間方向(圖3.7中的水平、垂直,或傾斜的oa方向),觀察到的離集尺度不同。但a點(diǎn)距原點(diǎn)的距離最近,距離為26.9,b點(diǎn)稍遠(yuǎn),因此取最近的極值點(diǎn)的距離為離集尺度,即S=26.9。

(毛在砂,2015)

從圖3.7(a)中自相關(guān)系數(shù)R(r)值,計(jì)算按Danckwerts定義的R(r),可以圖3.7(b)的中心點(diǎn)為圓心,畫半徑為r=的圓,將圓上各點(diǎn)的自相關(guān)系數(shù)值平均,就得到以r=為自變量的R(r)函數(shù)曲線。也可以按式(3.10)計(jì)算,但積分限制條件為=r,所得的R(r)如圖3.8所示。將不同取向的所有間距為r的R(r)值平均后,曲線在r=0以外的極大值位于r=29.2處。這比圖3.7(b)中的S=26.9大,是因?yàn)閳D3.7(b)中水平方向ob間的S*=40也被平均進(jìn)去了的緣故。若按式(3.7)或式(3.7a)

S=R(r)dr=R(r)dr(3.7)

S_a=dr=dr(3.7a)

來(lái)計(jì)算,本例中給出的值分別為S=3.9和S_a=9.3,也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圖3.7(b)中更具物理直觀性的估計(jì)。如此看來(lái),濃度場(chǎng)的自相關(guān)系數(shù)不一定總為正,式(3.6)和式(3.7)的定義需要慎重衡量其適用性。

將離集尺度再向三維濃度場(chǎng)擴(kuò)展,其定義和數(shù)值估計(jì)也相應(yīng)變得復(fù)雜。這種情況下,用蒙特卡羅法隨機(jī)選擇一定數(shù)量的方向來(lái)近似地估計(jì)離集尺度是可取的簡(jiǎn)易計(jì)算方法。在三維空間中,離集尺度一般在各坐標(biāo)方向不等,某一方向上離集尺度最小,另一方向上可能最大。離集尺度大是需要混合操作來(lái)消除的,離集尺度小則是對(duì)混合有利的因素,因此需要對(duì)離集尺度的空間分布和隨方向的變化有深刻的理解,以獲得改善混合效率的有效措施。在微反應(yīng)器一類設(shè)備固壁對(duì)流場(chǎng)影響十分顯著的場(chǎng)合,尤其需要這樣的深刻認(rèn)識(shí)。至于離集強(qiáng)度,Danckwerts PV(1952)定義為

I=(3.11)

其中

==-(3.12)

是全域中濃度c的方差。組分A完全離集時(shí)I =1,而濃度場(chǎng)完全均勻時(shí)I =0。一般說(shuō)來(lái),I反映的是組分濃度偏離平均值的程度,與A和B的相對(duì)量多少無(wú)關(guān)。

Kukukova A(2009)從化工和其它學(xué)科的研究中篩選出能全面刻畫宏觀混合的3個(gè)特征參數(shù):離集強(qiáng)度I(t)(或variance in concentration)、離集尺度S(t)(或spatial proximity)、?離集度變化率X(t)(exposure,團(tuán)塊間接觸面大,則離集容易消減)。他們以棋盤格子狀的濃度分布場(chǎng)為例,證明了這3個(gè)參數(shù)都不能單獨(dú)完成表征混合過程的任務(wù)。

綜合看來(lái),混合程度的指標(biāo)中離集尺度是最重要、最關(guān)鍵的。離集尺度S(t)的逐漸減小是混合過程的最基本特征;隨著尺度的減小,不同濃度的團(tuán)塊間的接觸面積相應(yīng)增加,越來(lái)越有利于質(zhì)量交換而達(dá)到混合的目的;離集尺度減小也相應(yīng)于分子擴(kuò)散的距離縮短,使擴(kuò)散速率增大,有利于消除團(tuán)塊間的濃度差別,使離集強(qiáng)度下降。雖然如果沒有分子擴(kuò)散,基于團(tuán)塊間濃度差的離集強(qiáng)度I(t)無(wú)從下降。這樣看起來(lái)好像S(t)和I(t)是互相獨(dú)立的;其實(shí)所有的實(shí)際體系都有分子擴(kuò)散,若離集尺度大,I(t)的下降必然也慢。所以,I(t)是依賴于離集尺度的。而離集度變化率X(t)與離集尺度S(t)相關(guān):離集尺度小、團(tuán)塊小,不同濃度的團(tuán)塊間的接觸面積相應(yīng)上升,即X(t)也增大。兩個(gè)指標(biāo)都只有混合尺度是純粹的宏觀混合指標(biāo)。圖3.9中,宏觀混合接近完成時(shí)的局部濃度分布,黑白相間的條紋表示團(tuán)塊間的濃度差別還很大,但離集尺度已經(jīng)小于探頭尺寸和Kolmogorov尺度,這時(shí)離集強(qiáng)度和離集變化率仍然很大,但從宏觀混合的角度來(lái)看,反應(yīng)器內(nèi)已經(jīng)均勻化了。因此,宏觀混合的研究應(yīng)該著重于離集尺度。

離集尺度的實(shí)驗(yàn)測(cè)定尚未見報(bào)道。其難點(diǎn)在于要求的空間分辨率高(可觀測(cè)到小于湍流渦團(tuán)尺度的團(tuán)塊),同時(shí)要能分辨出相鄰團(tuán)塊有濃度和其它示蹤性質(zhì)的差別,更重要的是做反映整個(gè)反應(yīng)器空間混合情況的3D觀測(cè)。期待著分析測(cè)試儀器技術(shù)水平的提高能逐漸滿足這些要求。采用片光源照明的高分辨率光學(xué)方法是一個(gè)值得關(guān)注的方向。

可以將單點(diǎn)檢測(cè)示蹤劑混勻確定的混合時(shí)間,理解為依據(jù)離集強(qiáng)度概念的實(shí)驗(yàn)方法的0階變種。檢測(cè)點(diǎn)初始時(shí)刻的濃度為0,這時(shí)對(duì)最終平均濃度c_∞的偏離為c_∞,即離集強(qiáng)度I(t=0)=c_∞,這個(gè)偏離隨著混合進(jìn)程而不斷減小。當(dāng)偏離小于0.05c_∞的時(shí)刻,就是通常定義的95%混合時(shí)間t₉₅。如果逐漸增加檢測(cè)點(diǎn)的數(shù)目和代表性,原則上可以得到與Danckwerts的離集強(qiáng)度概念一致的混合時(shí)間。