2.3?航天器動力學模型

探測器除了受到中心天體引力和軌道控制力外,在飛行過程中還會受到空間環境中各種攝動力的作用,這些攝動力主要包括:中心天體形狀非球形和質量不均勻產生的附加引力、其他天體引力、太陽光壓和可能的大氣阻力以及姿態控制可能產生的干擾力等。

2.3.1　中心體引力及形狀攝動勢函數

在分析天體對探測器的引力作用時,常使用引力勢函數,即引力場在空間任意一點的勢函數U,處在該點上單位質量探測器受到的引力為

F=grad U(2?10)

式中,grad表示函數的梯度。此勢函數與坐標系的選擇無關,應用較方便。如假設天體的質量M集中于一點時,它的勢函數是

U₀==(2?11)

式中,G為萬有引力常數,M為天體質量,μ=GM為天體引力常數;r是集中質點到空間某點的距離。均勻質量的圓球天體對外部各點的勢函數與整個球體質量集中于中心時的勢函數相同,它的梯度方向總是指向球體中心,這就是二體問題的基礎。探測器二體軌道動力學方程為

=-r(2?12)

式中,r為探測器相對天體中心的位置矢量。考慮天體形狀攝動時,勢函數包括兩部分:

U=U₀+R(2?13)

式中,R為攝動力的勢函數,稱為攝動函數。

考慮天體形狀攝動時,對于大行星、月球等形狀接近球體的天體,一般可用球諧項展開表示其引力勢函數;而對于小行星、彗星等一些橢球形天體,一般可用橢球諧項展開表示其引力勢函數;對于一些形狀極其特別的天體,可以采用多面體組合方法計算其引力勢函數。

采用球諧項展開的引力勢函數為

(2?14)

式中,為勒讓德多項式函數;n和m分別是多項式的次數和階數;r₀為天體的參考半徑;r為探測器到天體中心的距離;?和λ分別為天體的緯度和經度;和為歸一化的系數。

歸一化的系數與無歸一化系數之間的轉換關系可用下式表示:

(;)=(Cnm;Snm)(2?15)

式中,δ₀m為克羅內克符號函數。

勒讓德多項式函數

(x)=(x)(2?16)

勒讓德多項式

(x)=·(2?17)

采用橢球諧項展開的引力勢函數[4]為

(2?18)

式中,為規范化的橢球諧項系數,考慮天體形狀和密度變化,其滿足

(2?19)

這個面積分利用了天體對應的布里淵橢球體產生的勢函數,圖2?4給出了布里淵球體與布里淵橢球體的示意圖,其中,(λ₂)(λ₃)滿足如下關系:

(λ₂)(λ₃)=(2?20)

表示第一類Lamé函數(可為、、、),n為函數的維數,p為特征值。(λ₁)和滿足如下關系:

(2?21)

式中,s、h和k為橢球方程的參數,橢球方程如下:

++=1(2?22)

對于給定的x、y和z,方程(2?22)關于s2有三個實數根,其滿足如下約束:

∈[k2,+∞),∈[h2,k2],∈[0,h2](2?23)

引力勢函數中的橢球諧項參數計算方法見參考文獻[4,5]。

采用多面體組合方法計算的引力勢[6,7]為

(2?24)

式中,re為由引力計算點指向每個邊緣任意點的矢量;Ee為由與每個邊緣相關的面與邊緣法線向量組成的并矢量;Le為表達一維直線勢的對數項;rf為由引力計算點指向每個面上任意點的矢量;Ff為面法線向量的外積;ωf為從引力計算點出發的每個面所對的立體角。多面體組合引力勢的具體計算方法見參考文獻[6]和[7]。

2.3.2　其他攝動模型

2.3.2.1　其他天體引力攝動

第i個攝動天體對探測器產生的攝動加速度為

ai=μi(2?25)

式中,μi為第i個攝動天體的引力常數;r_pi為第i個攝動天體相對中心天體的位置,且r_pi=‖r_pi‖;r_ri為第i個攝動天體相對探測器的位置,即rii=r_pi-r,r為探測器相對天體中心的位置,且r_ri=‖r_ri‖。

2.3.2.2　太陽光壓攝動

探測器受到太陽光照射時,太陽輻射能量的一部分被吸收,另一部分被反射,這種能量轉換會使探測器受到力的作用,稱為太陽輻射壓力,簡稱光壓。探測器表面對太陽光的反射比較復雜,有鏡面反射和漫反射。在研究太陽光壓對探測器軌道的影響時,可以認為光壓的方向和太陽光的入射方向一致,作用在探測器單位質量上的光壓可以表示為

a_s=-r_rs(2?26)

式中,A為垂直于太陽光方向的探測器截面積;m為探測器質量;G為太陽通量常數,有G=k'p₀,k'為綜合吸收系數,Δ₀為太陽到地球表面的距離,p₀為地球表面的太陽光壓強度;r_rs為太陽相對探測器的位置矢量,即r_rs=r_ps-r,r為探測器相對天體中心的位置,且r_rs=‖r_rs‖;r_ps為太陽相對天體中心的位置。

2.3.2.3　大氣阻力攝動

大氣對探測器所產生的阻力加速度a_d為

a_d=-c_dρv_av_a(2?27)

式中,c_d為阻力系數;ρ為大氣密度;A為迎風面積,即探測器沿速度方向的投影面積;m為探測器的質量;v_a為探測器相對旋轉大氣的速度,v_a=‖v_a‖。

2.3.3　航天器動力學模型

針對所研究的問題,探測器軌道動力學方程可以選擇不同的表達形式[8,9],比如軌道參數可以用球坐標、直角坐標或開普勒要素表示,攝動項可以直接用攝動力表示,也可以用攝動函數表示。

(1)用球坐標表達的軌道動力學方程

用球坐標表示天體形狀和質量的不均勻性比較方便、直觀。研究天體引力的攝動函數及其對探測器運動的影響,常用球坐標表示探測器的軌道動力學方程。

(2?28)

式中,(r,α,φ)為探測器的球坐標,r是探測器相對天體中心的距離,(α,φ)是探測器位置對應的經、緯度;ar、aα、aφ是沿球面坐標軸方向作用在探測器上的加速度。如只考慮天體引力加速度,則它們等于引力勢函數U(r,α,φ)沿著三個方向的導數。

(2)用開普勒要素表達的軌道動力學方程

利用開普勒要素表達軌道,便于分析攝動力對探測器軌道要素的影響。

① 拉格朗日行星攝動方程　拉格朗日行星攝動方程是天體力學中常用的方程,其表達式為

(2?29)

如果確定了攝動勢函數的具體表達式,就可以利用方程求解任意時刻的密切軌道要素,并根據二體問題的關系求出探測器的位置和速度。攝動方程的上述形式只適合用于攝動力可以用攝動勢函數來表示的場合。更一般形式的軌道動力學方程是高斯型攝動方程。

② 高斯型攝動方程　用軌道要素表示的軌道動力學方程為

(2?30)

式中,a為半長軸;e為偏心率;i為軌道傾角;Ω為升交點赤經;ω為近天體角距;M為平近點角;E為偏近點角;f為真近點角;t為時間;p=a(1-e2)為半通徑;n為平均軌道角速度大小;Fr、Ft、Fn分別為攝動加速度在徑向、橫向和軌道面法向上的分量。對于二體運動,Fr=Ft=Fn=0,=n,其余五個軌道要素都為常值。

(3)用直角坐標表達的軌道動力學方程

用直角坐標表達的軌道動力學方程為

(2?31)

式中,r和v分別為探測器的位置和速度;a為其他無法用攝動勢函數表達的攝動力。