第2章?天體力學基礎

2.1?參考坐標系及坐標變換

2.1.1　參考坐標系的定義

為了描述參考坐標系,需要給出坐標原點的位置、基準平面(即X?Y平面)的方位以及主方向(即X軸的方向和Z軸的方向)。由于Z軸必須垂直于基準平面,故只需說明其正方向。一般選擇Y軸方向使坐標系成為右手系。

(1)日心黃道坐標系(OsXsiYsiZsi)

原點定義在日心,X?Y平面與黃道面(黃道面是地球繞太陽運行的軌道平面)一致,如圖2?1所示。黃道面與地球赤道面的交線確定了X軸的方向,此方向稱為春分點方向,Z軸垂直于黃道面,與地球公轉角速度矢量一致。由于地球自旋軸的方向有緩慢的漂移,導致黃赤交線的緩慢漂移,因此,日心黃道坐標系實際上并不是一個慣性參考坐標系。為了建立慣性參考系,需要注明所用的坐標系是根據哪一特定時刻(歷元)的春分點方向建立的。采用J2000.0日心黃道坐標系,其基本平面和主方向分別為J2000.0的平黃道和平春分點。

(2)地心坐標系

① 地心赤道坐標系(O_eX_eiY_eiZ_ei)　原點定義在地心,基準平面是地球赤道平面,X軸方向指向春分點,Z軸指向北極,如圖2?2所示。需要說明的是,地心赤道坐標系并不是固定在地球上同地球一起轉動的。采用J2000.0地心赤道坐標系,其主方向為J2000.0的平春分點,基準面為平赤道面。

② 地心黃道坐標系(O_eX_siY_siZ_si)　原點定義在地心,基準平面是黃道平面,X軸方向指向春分點,Z軸指向北極,即日心黃道坐標系原點平移到地心形成的坐標系。

(3)目標天體坐標系

① 目標天體慣性坐標系(O_tX_eiY_eiZ_ei)　原點定義在目標天體中心,X、Y、Z軸分別與J2000.0地心赤道坐標系的X、Y、Z軸方向一致。

② 目標天體固聯坐標系(O_tX_tfY_tfZ_tf)　原點定義在目標天體中心,Z軸取目標天體的自轉軸,X軸在目標天體赤道面指向某一定義點,選擇Y軸構成右手坐標系。

(4)軌道坐標系(OcXoYoZo)

以探測器標稱質心或某特殊點為原點(主要考慮到飛行過程中探測器實際質心可能是變化的),Z軸沿探測器指向中心天體的中心方向;X軸在瞬時軌道平面內垂直于Z軸,并指向探測器速度方向;Y軸與瞬時軌道平面的法線平行,構成右手坐標系。

(5)近焦點坐標系(OgcXωYωZω)

原點定義在主引力場中心,基準平面是探測器的軌道平面,X軸指向近拱點,在軌道面內按運動方向從X軸轉過90°就是Y軸,Z軸為軌道面法線且構成右手坐標系。

(6)探測器本體坐標系(OcXbYbZb)

本體坐標系以探測器標稱質心或某特殊點為原點,坐標軸的指向一般會考慮探測器的結構,通常可分如下幾種。

① 特征軸坐標系　X軸沿探測器某一特征軸方向,Y軸和Z軸也沿著探測器另外兩個特征軸方向,且X軸、Y軸、Z軸構成右手直角坐標系。

② 慣性主軸坐標系　X軸沿探測器某一慣性主軸方向,Y軸和Z軸也沿著探測器另外兩個慣性主軸方向,且X軸、Y軸、Z軸構成右手直角坐標系。

③ 速度坐標系　X軸沿探測器速度方向;Y軸在探測器縱向對稱平面內,垂直于X軸,指向上方;Z軸與X軸、Y軸構成右手直角坐標系。

2.1.2　坐標系之間的變換

坐標變換必然涉及到坐標旋轉,為此,首先定義用旋轉變換矩陣表示坐標旋轉的方法。若原坐標系中的某一矢量用r表示,在旋轉后的新坐標系中用r'表示,那么當YZ平面、ZX平面和XY平面分別繞X軸、Y軸和Z軸轉動θ角(逆時針為正)后,有

r'=RX(θ)r
r'=RY(θ)r
r'=RZ(θ)r(2?1)

式中

RX(θ)=

RY(θ)=

RZ(θ)=

且旋轉矩陣R(θ)有如下性質:

R-1(θ)=RT(θ)=R(-θ)(2?2)

式中,R-1和RT分別表示矩陣R的逆和轉置。

(1)日心黃道系→地心黃道系→地心赤道系

歷元日心黃道坐標系和歷元地心赤道坐標系之間的轉換過程為平移和旋轉,其中平移對應一個過渡性的歷元地心黃道坐標系。記歷元地心赤道坐標系、歷元地心黃道坐標系和歷元日心黃道坐標系的位置矢量分別為r_ei、r_e,_si和r_si,則有

(2?3)

式中,r_se,_si為太陽(日心)在地心黃道坐標系中的位置矢量;=ε-Δε,為平黃赤交角,Δε表示交角章動,ε=23°26'21″.448-46″.8150t-0″.00059t2+0″.001813t3,t=,JD(t)表示計算時刻t對應的儒略日,JD(J2000.0)是歷元J2000.0對應的儒略日。

(2)目標天體慣性系→目標天體固聯系

如圖2?3所示,可以利用三個角φ、ψ、θ來描述目標天體固聯坐標系相對目標天體慣性坐標系的指向,記目標天體慣性坐標系和目標天體固聯坐標系的位置矢量分別為r_ti和r_tf,則有

r_tf=RZ(ψ)RX(θ)RZ(φ)r_ti(2?4)

(3)日心黃道系→日心軌道坐標系

r_o=RZ(ω)RX(i)RZ(Ω)r_si(2?5)

式中,Ω為升交點經度;i為軌道傾角;ω為近日點幅角;r_o為探測器在日心軌道坐標系的位置;r_si為探測器在日心黃道坐標系的位置。