第2章?天體力學(xué)基礎(chǔ)

2.1?參考坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

2.1.1　參考坐標(biāo)系的定義

為了描述參考坐標(biāo)系,需要給出坐標(biāo)原點(diǎn)的位置、基準(zhǔn)平面(即X?Y平面)的方位以及主方向(即X軸的方向和Z軸的方向)。由于Z軸必須垂直于基準(zhǔn)平面,故只需說明其正方向。一般選擇Y軸方向使坐標(biāo)系成為右手系。

(1)日心黃道坐標(biāo)系(OsXsiYsiZsi)

原點(diǎn)定義在日心,X?Y平面與黃道面(黃道面是地球繞太陽運(yùn)行的軌道平面)一致,如圖2?1所示。黃道面與地球赤道面的交線確定了X軸的方向,此方向稱為春分點(diǎn)方向,Z軸垂直于黃道面,與地球公轉(zhuǎn)角速度矢量一致。由于地球自旋軸的方向有緩慢的漂移,導(dǎo)致黃赤交線的緩慢漂移,因此,日心黃道坐標(biāo)系實(shí)際上并不是一個(gè)慣性參考坐標(biāo)系。為了建立慣性參考系,需要注明所用的坐標(biāo)系是根據(jù)哪一特定時(shí)刻(歷元)的春分點(diǎn)方向建立的。采用J2000.0日心黃道坐標(biāo)系,其基本平面和主方向分別為J2000.0的平黃道和平春分點(diǎn)。

(2)地心坐標(biāo)系

① 地心赤道坐標(biāo)系(O_eX_eiY_eiZ_ei)　原點(diǎn)定義在地心,基準(zhǔn)平面是地球赤道平面,X軸方向指向春分點(diǎn),Z軸指向北極,如圖2?2所示。需要說明的是,地心赤道坐標(biāo)系并不是固定在地球上同地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)的。采用J2000.0地心赤道坐標(biāo)系,其主方向?yàn)镴2000.0的平春分點(diǎn),基準(zhǔn)面為平赤道面。

② 地心黃道坐標(biāo)系(O_eX_siY_siZ_si)　原點(diǎn)定義在地心,基準(zhǔn)平面是黃道平面,X軸方向指向春分點(diǎn),Z軸指向北極,即日心黃道坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到地心形成的坐標(biāo)系。

(3)目標(biāo)天體坐標(biāo)系

① 目標(biāo)天體慣性坐標(biāo)系(O_tX_eiY_eiZ_ei)　原點(diǎn)定義在目標(biāo)天體中心,X、Y、Z軸分別與J2000.0地心赤道坐標(biāo)系的X、Y、Z軸方向一致。

② 目標(biāo)天體固聯(lián)坐標(biāo)系(O_tX_tfY_tfZ_tf)　原點(diǎn)定義在目標(biāo)天體中心,Z軸取目標(biāo)天體的自轉(zhuǎn)軸,X軸在目標(biāo)天體赤道面指向某一定義點(diǎn),選擇Y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

(4)軌道坐標(biāo)系(OcXoYoZo)

以探測(cè)器標(biāo)稱質(zhì)心或某特殊點(diǎn)為原點(diǎn)(主要考慮到飛行過程中探測(cè)器實(shí)際質(zhì)心可能是變化的),Z軸沿探測(cè)器指向中心天體的中心方向;X軸在瞬時(shí)軌道平面內(nèi)垂直于Z軸,并指向探測(cè)器速度方向;Y軸與瞬時(shí)軌道平面的法線平行,構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

(5)近焦點(diǎn)坐標(biāo)系(OgcXωYωZω)

原點(diǎn)定義在主引力場(chǎng)中心,基準(zhǔn)平面是探測(cè)器的軌道平面,X軸指向近拱點(diǎn),在軌道面內(nèi)按運(yùn)動(dòng)方向從X軸轉(zhuǎn)過90°就是Y軸,Z軸為軌道面法線且構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

(6)探測(cè)器本體坐標(biāo)系(OcXbYbZb)

本體坐標(biāo)系以探測(cè)器標(biāo)稱質(zhì)心或某特殊點(diǎn)為原點(diǎn),坐標(biāo)軸的指向一般會(huì)考慮探測(cè)器的結(jié)構(gòu),通常可分如下幾種。

① 特征軸坐標(biāo)系　X軸沿探測(cè)器某一特征軸方向,Y軸和Z軸也沿著探測(cè)器另外兩個(gè)特征軸方向,且X軸、Y軸、Z軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

② 慣性主軸坐標(biāo)系　X軸沿探測(cè)器某一慣性主軸方向,Y軸和Z軸也沿著探測(cè)器另外兩個(gè)慣性主軸方向,且X軸、Y軸、Z軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

③ 速度坐標(biāo)系　X軸沿探測(cè)器速度方向;Y軸在探測(cè)器縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),垂直于X軸,指向上方;Z軸與X軸、Y軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

2.1.2　坐標(biāo)系之間的變換

坐標(biāo)變換必然涉及到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),為此,首先定義用旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法。若原坐標(biāo)系中的某一矢量用r表示,在旋轉(zhuǎn)后的新坐標(biāo)系中用r'表示,那么當(dāng)YZ平面、ZX平面和XY平面分別繞X軸、Y軸和Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角(逆時(shí)針為正)后,有

r'=RX(θ)r
r'=RY(θ)r
r'=RZ(θ)r(2?1)

式中

RX(θ)=

RY(θ)=

RZ(θ)=

且旋轉(zhuǎn)矩陣R(θ)有如下性質(zhì):

R-1(θ)=RT(θ)=R(-θ)(2?2)

式中,R-1和RT分別表示矩陣R的逆和轉(zhuǎn)置。

(1)日心黃道系→地心黃道系→地心赤道系

歷元日心黃道坐標(biāo)系和歷元地心赤道坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換過程為平移和旋轉(zhuǎn),其中平移對(duì)應(yīng)一個(gè)過渡性的歷元地心黃道坐標(biāo)系。記歷元地心赤道坐標(biāo)系、歷元地心黃道坐標(biāo)系和歷元日心黃道坐標(biāo)系的位置矢量分別為r_ei、r_e,_si和r_si,則有

(2?3)

式中,r_se,_si為太陽(日心)在地心黃道坐標(biāo)系中的位置矢量;=ε-Δε,為平黃赤交角,Δε表示交角章動(dòng),ε=23°26'21″.448-46″.8150t-0″.00059t2+0″.001813t3,t=,JD(t)表示計(jì)算時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的儒略日,JD(J2000.0)是歷元J2000.0對(duì)應(yīng)的儒略日。

(2)目標(biāo)天體慣性系→目標(biāo)天體固聯(lián)系

如圖2?3所示,可以利用三個(gè)角φ、ψ、θ來描述目標(biāo)天體固聯(lián)坐標(biāo)系相對(duì)目標(biāo)天體慣性坐標(biāo)系的指向,記目標(biāo)天體慣性坐標(biāo)系和目標(biāo)天體固聯(lián)坐標(biāo)系的位置矢量分別為r_ti和r_tf,則有

r_tf=RZ(ψ)RX(θ)RZ(φ)r_ti(2?4)

(3)日心黃道系→日心軌道坐標(biāo)系

r_o=RZ(ω)RX(i)RZ(Ω)r_si(2?5)

式中,Ω為升交點(diǎn)經(jīng)度;i為軌道傾角;ω為近日點(diǎn)幅角;r_o為探測(cè)器在日心軌道坐標(biāo)系的位置;r_si為探測(cè)器在日心黃道坐標(biāo)系的位置。