第3章
傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆p-t關系

3.1　p-t參數的理論計算

從沖擊起爆的觀點來看，主裝藥的起爆過程主要是靠傳爆藥爆轟后輸出的沖擊壓力脈沖來完成的，因此，了解和計算傳爆藥-主裝藥間沖擊壓力脈沖p-t參數是十分重要的。下面利用爆轟理論推導p-t參數。

3.1.1　p-t參數的一維計算

3.1.1.1　物理模型的建立

為了方便，考慮傳爆藥-主裝藥間爆轟波垂直入射模型，如圖3.1所示。

在圖3.1中，ρ₀和ρ_m0分別為傳爆藥柱和主裝藥柱的初始密度，u_m0為主裝藥的初始質點速度，D和L分別為傳爆藥柱的爆速和長度。

為了進一步簡化問題，提出如下假設：

①主裝藥柱的沖擊阻抗小于傳爆藥柱的沖擊阻抗（對于主裝藥的沖擊阻抗大于傳爆藥柱沖擊阻抗的情況后面還將討論）。這時，在爆轟波作用下，主裝藥中形成沖擊波，反射回爆轟產物的是膨脹波。爆轟產物的流動可視為等熵流動。

②整個過程是一維的，平面爆轟波向主裝藥柱進行正面垂直沖擊。

③固體的沖擊壓縮方程D=a+bu（其中，a、b為Hugoniot常數，u為質點速度）不僅可用于炸藥中沖擊波參數的計算，還可用于波陣面后流場中參數的計算。

④在爆轟波作用下，炸藥可近似視為流體。

⑤炸藥爆轟產物多方指數k=3。

⑥忽略主裝藥柱的化學反應。

3.1.1.2　推導

由上述物理模型，可認為所研究的問題是一維等熵不定常流。描述這種流動的基本方程是雙曲線的偏微分方程，這種方程可以變換成特征形式，即沿特征線這些方程為常微分方程。由于特征線法在一維計算中的突出優點，本書下面采用特征線法。

可壓縮流體的一維等熵不定常流的偏微分方程包括：

（1）連續性方程

　　（3.1）

（2）運動方程

　　（3.2）

由式（3.1）和式（3.2）可以得到沿特征線的常微分方程：

C+：

　　（3.3）

C-：

　　（3.4）

注意到，則式（3.3）和式（3.4）也可寫成：

C+：

　　（3.5）

C-：

　　（3.6）

對于多方指數k=3的爆轟產物，可進一步簡化式（3.5）和式（3.6）：

C+：

　　（3.7）

C-：

　　（3.8）

若取傳爆藥柱起爆開始瞬間為零時刻，傳爆藥柱長度為L，則在t=L/D時刻，爆轟波到達傳爆藥-主裝藥界面。此時，爆轟產物的質點速度立即由u_H變為分界面的初始速度u_bx，產物的聲速立即由c_H變為分界面處產物的初始聲速c_bx，且有關系式

u_H+c_H=u_bx+c_bx=D

在分界面處，爆轟產物運動速度u_b的變化規律為：

x=（u+c）t=（u_b+c_b）t　　（3.9）

式（3.9）兩邊對t求導，并注意到，可得到：

　　（3.10）

爆轟產物的多方方程可寫作：

　　（3.11）

可得：

　　（3.12）

　　（3.13）

由于分界面兩側存在著壓力和速度的連續性條件，因此，對于爆轟波到達界面后任意時刻t有：

p_b（t）=p_mp（t）

式中，u_b（t）為t時刻主裝藥柱表面的質點速度，mm/μs；p_mp（t）為t時刻主裝藥柱表面的沖擊波壓力，GPa。

由主裝藥柱的沖擊壓縮方程和沖擊波的動量守恒關系，可以得到在t時刻分界面的壓力：

p_b（t）=p_mp（t）=ρ_m0（a+bu_b）u_b　　（3.14）

求解式（3.14）可以得到：

　　（3.15）

將式（3.15）兩邊求導：

　　（3.16）

將式（3.15）代入式（3.16）并整理得：

　　（3.17）

將式（3.12）、式（3.13）、式（3.17）代入式（3.11）可得：

整理為：

兩邊積分：

即

　　（3.18）

式（3.18）給出了p（t）關系。

式中，p為爆轟波到達界面處任意時刻t的壓力，GPa；p_bx為爆轟波到達臨界面時的初始壓力，GPa。

根據爆轟理論，當分界面處反射波為膨脹波時，左傳膨脹波傳播過程的動量守恒方程為：

dp=-ρc du

用u_bx表示分界面處爆轟產物的初始速度，p_bx表示分界面處爆轟產物的初始壓力，則有：

　　（3.19）

由爆轟產物的多方方程

p=Aρk

得到：

應用以下關系式：

得

代入式（3.19）進行積分得：

代入得：

當k=3時可簡化為：

　　（3.20）

式（3.20）從爆轟產物方面給出了u_bx和p_bx的關系，其中。另外，根據主裝藥柱沖擊壓縮方程和沖擊波動量守恒方程，有：

p_bx=ρ_m0（a+bu_bx）u_bx　　（3.21）

式（3.18）給出了一維情況下爆轟波到達分界面后任意時刻t的沖擊壓力p（t），亦即傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆脈沖p-t關系，式（3.20）和式（3.21）聯立可以求解式（3.18）中的p_bx。

以上推導是基于假設傳爆藥柱沖擊阻抗大于主裝藥柱沖擊阻抗進行的。當傳爆藥柱沖擊阻抗小于主裝藥柱沖擊阻抗時，在爆轟波作用下，主裝藥柱中形成的是沖擊波，爆轟產物中的反射波也是沖擊波。由于反射沖擊波相對于密度較高的爆轟產物而言屬于弱沖擊波，爆轟產物的流動也可近似地視為等熵流動。因此，p-t關系式的推導過程和結果同前面一樣，仍得出式（3.18）的p-t關系式。但是式（3.20）要做相應變化。

由于爆轟產物中反射沖擊波的傳播方向與波前質點速度的方向相反，并且波后質點速度以正向表示，即波后質點速度也與反射沖擊波傳播方向相反。按照沖擊波前、后參數關系表達式，考慮到質點運動方向，波前、波后速度增加量為：

　　（3.22）

式中，v_H、v_bx為反射沖擊波前、后爆轟產物比體積，m3/kg。

利用爆轟產物的多方方程p=Aρk，可將反射沖擊波的Hugoniot方程寫成：

將其代入式（3.22）得到：

而其中：

代入后得到：

當k=3時，有：

　　（3.23）

這樣，當傳爆藥柱沖擊阻抗小于主裝藥沖擊阻抗時，通過聯立求解式（3.23）和式（3.21），可得到p_bx。然后通過式（3.18）描述沖擊脈沖p-t關系。

3.1.2　p-t參數的二維計算

上節推導了一維情況下傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆壓力脈沖p-t關系式，該關系式適用于傳爆藥柱處于側向強約束條件的情況。但是，在大多數情況下，傳爆藥柱處于非強約束甚至裸露的狀態。此時，必須考慮其側向稀疏的影響。為此，本節討論二維情況下傳爆藥-主裝藥間的p-t關系式。

3.1.2.1　關系式推導

仍然采用上節傳爆藥-主裝藥的模型加以討論。假設：

①主裝藥的沖擊阻抗小于傳爆藥柱的沖擊阻抗。

②傳爆藥柱裸露，整個過程是二維的。

③在爆轟作用下，炸藥可視為流體，爆轟產物的流動可視為等熵流動。

根據鮑姆有效裝藥量的概念，對于如圖3.2所示半徑為r，高度為L的裸露炸藥柱，由于側向稀疏和后部稀疏作用，該藥柱的有效裝藥量w_eff為：

折合成一維藥柱后，其有效裝藥高度L_eff為：

　　（3.24）

同3.1.1節中p-t關系式的推導一樣，仍可得出：

　　（3.25）

其中，p_bx可由下列方程組的解給出：

　　（3.26）

式中，L和r為傳爆藥柱的高度和半徑，mm；D為傳爆藥柱的理想爆速，mm/μs；ρ₀和ρ_m0為傳爆藥柱和主裝藥柱的初始密度，g/cm3；a和b為主裝藥的Hugoniot常數；k為爆轟產物多方指數；p_bx為分界面處沖擊脈沖的初始壓力，GPa；p為分界面處脈沖在任意時刻的壓力，GPa；t為沖擊到達分界面的時間，μs。

式（3.24）～式（3.26）結合起來，可求出二維情況下傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆壓力脈沖p-t關系。

3.1.2.2　p-t參數的數值計算

式（3.25）較為復雜，只能采用數值計算的方法求解。具體方法是給出p為某一小于p_bx的確定值，用Romberg求積分法計算，然后用對分法求解到該給定壓力下對應的時間t。具體計算可采用程序[cal_plz.c]進行。下面是該程序的基本結構和內容。

/**cal_ptz.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此頭文件見本書4.1節**/
main()
{
Message（“P-T”）；     /****顯示提示信息*******/
Inputdat（8）；        /****輸入數據********/
Cal_Leff()；         /*****求有效藥高Leff******/
Cal_Pbx()；          /*****求峰值壓力Pbx（在1到PH+100之間）******/
Cal_ptz()；          /*****求p-T值******/
Print_pt()；         /*****打印p-T*****/

以下給出一組計算實例。為了使計算結果便于和實驗結果比較，所給參數與實驗情況相同。

現有裝藥體積一定，高徑比不同的如下五種尺寸的JO-9C傳爆藥柱分別與有機玻璃（有機玻璃阻抗與大部分炸藥阻抗相近）接觸爆炸（?表示直徑，乘號后面的數字表示高度）：①?20.85mm×46.20mm；②?22.85mm×38.50mm；③?29.80mm×22.60mm；④?35.90mm×15.50mm；⑤?42.35mm×11.20mm。

傳爆藥柱初始壓藥密度ρ₀=1.705g/cm3，穩定爆速測得為D=8.3mm/μs；有機玻璃密度ρ₀=1.185g/cm3；Hugoniot常數a=2.572mm/μs，b=1.536146。

以上參數輸入程序[Cal_puz.c]，分別求得以上五種不同尺寸傳爆藥柱的p-t數值解，如表3.1所示。輸入參數如下：

主發藥柱密度/（g/cm3）　1.705

被發藥柱密度/（g/cm3）　1.185

主發藥柱爆速/（mm/μs）　8.3

多方指數　3

被發藥柱Hugoniot參數a/（mm/μs）　2.572

被發藥柱Hugoniot參數b　1.536

主發藥柱直徑/mm　20.85　22.85　29.80　35.90　42.35

主發藥柱高度/mm　46.20　38.50　22.60　15.50　11.20

3.1.2.3　p-t參數的擬合計算

以上求得二維情況下傳爆藥-主裝藥沖擊起爆脈沖p-t關系的數值解。然而，在有些情況下數值解不便于應用，需要以較為簡單的函數關系式表達。為此，本書在以上數值解的基礎上，通過最小二乘法數值擬合的辦法，求得較為簡單的p-t擬合關系式，具體擬合計算用程序[cal_ptnh.c]進行。下面是該程序的基本結構和內容。

/**cal_pmh.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此頭文件見本書4.2節**/
main()
Message（“PT_NH“）；/*****顯示提示信息******/
Input_dat（8）；      /***輸入數據***/
Cal_Leff()；          /***求有效藥高Leff*****/
Cal_Pbx()；           /***求峰值壓力Pbx（在1到PH+100之間）****/
Cal_ptz()；           /****求p-T值**/
Cal_pnhO()；          /*****求p-T擬合曲線****/
Print_ptnh()；        /*****打印p-T擬合曲線方程****/
    }

對于3.1.2.2節所舉例的五種尺寸的傳爆藥柱，其p-t擬合關系式分別為：

p（t）=20.33-24.87t+11.05t2-1.53t3

p（t）=20.33-23.05t+9.50t2-1.22t3

p（t）=20.33-24.55t+10.77t2-1.47t3

p（t）=20.36-30.60t+16.70t2-2.84t3

p（t）=20.39-39.19t+27.36t2-5.95t3

上節p-t數值解結果和本節p-t擬合關系式的作用比較見圖3.3～圖3.7。圖3.3～圖3.7中虛線表示數值解，實線表示擬合曲線。