第3章
傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆p-t關(guān)系

3.1　p-t參數(shù)的理論計(jì)算

從沖擊起爆的觀點(diǎn)來看，主裝藥的起爆過程主要是靠傳爆藥爆轟后輸出的沖擊壓力脈沖來完成的，因此，了解和計(jì)算傳爆藥-主裝藥間沖擊壓力脈沖p-t參數(shù)是十分重要的。下面利用爆轟理論推導(dǎo)p-t參數(shù)。

3.1.1　p-t參數(shù)的一維計(jì)算

3.1.1.1　物理模型的建立

為了方便，考慮傳爆藥-主裝藥間爆轟波垂直入射模型，如圖3.1所示。

在圖3.1中，ρ₀和ρ_m0分別為傳爆藥柱和主裝藥柱的初始密度，u_m0為主裝藥的初始質(zhì)點(diǎn)速度，D和L分別為傳爆藥柱的爆速和長(zhǎng)度。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化問題，提出如下假設(shè)：

①主裝藥柱的沖擊阻抗小于傳爆藥柱的沖擊阻抗（對(duì)于主裝藥的沖擊阻抗大于傳爆藥柱沖擊阻抗的情況后面還將討論）。這時(shí)，在爆轟波作用下，主裝藥中形成沖擊波，反射回爆轟產(chǎn)物的是膨脹波。爆轟產(chǎn)物的流動(dòng)可視為等熵流動(dòng)。

②整個(gè)過程是一維的，平面爆轟波向主裝藥柱進(jìn)行正面垂直沖擊。

③固體的沖擊壓縮方程D=a+bu（其中，a、b為Hugoniot常數(shù)，u為質(zhì)點(diǎn)速度）不僅可用于炸藥中沖擊波參數(shù)的計(jì)算，還可用于波陣面后流場(chǎng)中參數(shù)的計(jì)算。

④在爆轟波作用下，炸藥可近似視為流體。

⑤炸藥爆轟產(chǎn)物多方指數(shù)k=3。

⑥忽略主裝藥柱的化學(xué)反應(yīng)。

3.1.1.2　推導(dǎo)

由上述物理模型，可認(rèn)為所研究的問題是一維等熵不定常流。描述這種流動(dòng)的基本方程是雙曲線的偏微分方程，這種方程可以變換成特征形式，即沿特征線這些方程為常微分方程。由于特征線法在一維計(jì)算中的突出優(yōu)點(diǎn)，本書下面采用特征線法。

可壓縮流體的一維等熵不定常流的偏微分方程包括：

（1）連續(xù)性方程

　?。?.1）

（2）運(yùn)動(dòng)方程

　?。?.2）

由式（3.1）和式（3.2）可以得到沿特征線的常微分方程：

C+：

　?。?.3）

C-：

　　（3.4）

注意到，則式（3.3）和式（3.4）也可寫成：

C+：

　　（3.5）

C-：

　?。?.6）

對(duì)于多方指數(shù)k=3的爆轟產(chǎn)物，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（3.5）和式（3.6）：

C+：

　　（3.7）

C-：

　?。?.8）

若取傳爆藥柱起爆開始瞬間為零時(shí)刻，傳爆藥柱長(zhǎng)度為L，則在t=L/D時(shí)刻，爆轟波到達(dá)傳爆藥-主裝藥界面。此時(shí)，爆轟產(chǎn)物的質(zhì)點(diǎn)速度立即由u_H變?yōu)榉纸缑娴某跏妓俣?i>u_bx，產(chǎn)物的聲速立即由c_H變?yōu)榉纸缑嫣幃a(chǎn)物的初始聲速c_bx，且有關(guān)系式

u_H+c_H=u_bx+c_bx=D

在分界面處，爆轟產(chǎn)物運(yùn)動(dòng)速度u_b的變化規(guī)律為：

x=（u+c）t=（u_b+c_b）t　　（3.9）

式（3.9）兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并注意到，可得到：

　?。?.10）

爆轟產(chǎn)物的多方方程可寫作：

　?。?.11）

可得：

　?。?.12）

　?。?.13）

由于分界面兩側(cè)存在著壓力和速度的連續(xù)性條件，因此，對(duì)于爆轟波到達(dá)界面后任意時(shí)刻t有：

p_b（t）=p_mp（t）

式中，u_b（t）為t時(shí)刻主裝藥柱表面的質(zhì)點(diǎn)速度，mm/μs；p_mp（t）為t時(shí)刻主裝藥柱表面的沖擊波壓力，GPa。

由主裝藥柱的沖擊壓縮方程和沖擊波的動(dòng)量守恒關(guān)系，可以得到在t時(shí)刻分界面的壓力：

p_b（t）=p_mp（t）=ρ_m0（a+bu_b）u_b　?。?.14）

求解式（3.14）可以得到：

　?。?.15）

將式（3.15）兩邊求導(dǎo)：

　　（3.16）

將式（3.15）代入式（3.16）并整理得：

　?。?.17）

將式（3.12）、式（3.13）、式（3.17）代入式（3.11）可得：

整理為：

兩邊積分：

即

　?。?.18）

式（3.18）給出了p（t）關(guān)系。

式中，p為爆轟波到達(dá)界面處任意時(shí)刻t的壓力，GPa；p_bx為爆轟波到達(dá)臨界面時(shí)的初始?jí)毫Γ珿Pa。

根據(jù)爆轟理論，當(dāng)分界面處反射波為膨脹波時(shí)，左傳膨脹波傳播過程的動(dòng)量守恒方程為：

dp=-ρc du

用u_bx表示分界面處爆轟產(chǎn)物的初始速度，p_bx表示分界面處爆轟產(chǎn)物的初始?jí)毫?，則有：

　?。?.19）

由爆轟產(chǎn)物的多方方程

p=Aρk

得到：

應(yīng)用以下關(guān)系式：

得

代入式（3.19）進(jìn)行積分得：

代入得：

當(dāng)k=3時(shí)可簡(jiǎn)化為：

　　（3.20）

式（3.20）從爆轟產(chǎn)物方面給出了u_bx和p_bx的關(guān)系，其中。另外，根據(jù)主裝藥柱沖擊壓縮方程和沖擊波動(dòng)量守恒方程，有：

p_bx=ρ_m0（a+bu_bx）u_bx　　（3.21）

式（3.18）給出了一維情況下爆轟波到達(dá)分界面后任意時(shí)刻t的沖擊壓力p（t），亦即傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆脈沖p-t關(guān)系，式（3.20）和式（3.21）聯(lián)立可以求解式（3.18）中的p_bx。

以上推導(dǎo)是基于假設(shè)傳爆藥柱沖擊阻抗大于主裝藥柱沖擊阻抗進(jìn)行的。當(dāng)傳爆藥柱沖擊阻抗小于主裝藥柱沖擊阻抗時(shí)，在爆轟波作用下，主裝藥柱中形成的是沖擊波，爆轟產(chǎn)物中的反射波也是沖擊波。由于反射沖擊波相對(duì)于密度較高的爆轟產(chǎn)物而言屬于弱沖擊波，爆轟產(chǎn)物的流動(dòng)也可近似地視為等熵流動(dòng)。因此，p-t關(guān)系式的推導(dǎo)過程和結(jié)果同前面一樣，仍得出式（3.18）的p-t關(guān)系式。但是式（3.20）要做相應(yīng)變化。

由于爆轟產(chǎn)物中反射沖擊波的傳播方向與波前質(zhì)點(diǎn)速度的方向相反，并且波后質(zhì)點(diǎn)速度以正向表示，即波后質(zhì)點(diǎn)速度也與反射沖擊波傳播方向相反。按照沖擊波前、后參數(shù)關(guān)系表達(dá)式，考慮到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向，波前、波后速度增加量為：

　　（3.22）

式中，v_H、v_bx為反射沖擊波前、后爆轟產(chǎn)物比體積，m3/kg。

利用爆轟產(chǎn)物的多方方程p=Aρk，可將反射沖擊波的Hugoniot方程寫成：

將其代入式（3.22）得到：

而其中：

代入后得到：

當(dāng)k=3時(shí)，有：

　?。?.23）

這樣，當(dāng)傳爆藥柱沖擊阻抗小于主裝藥沖擊阻抗時(shí)，通過聯(lián)立求解式（3.23）和式（3.21），可得到p_bx。然后通過式（3.18）描述沖擊脈沖p-t關(guān)系。

3.1.2　p-t參數(shù)的二維計(jì)算

上節(jié)推導(dǎo)了一維情況下傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆壓力脈沖p-t關(guān)系式，該關(guān)系式適用于傳爆藥柱處于側(cè)向強(qiáng)約束條件的情況。但是，在大多數(shù)情況下，傳爆藥柱處于非強(qiáng)約束甚至裸露的狀態(tài)。此時(shí)，必須考慮其側(cè)向稀疏的影響。為此，本節(jié)討論二維情況下傳爆藥-主裝藥間的p-t關(guān)系式。

3.1.2.1　關(guān)系式推導(dǎo)

仍然采用上節(jié)傳爆藥-主裝藥的模型加以討論。假設(shè)：

①主裝藥的沖擊阻抗小于傳爆藥柱的沖擊阻抗。

②傳爆藥柱裸露，整個(gè)過程是二維的。

③在爆轟作用下，炸藥可視為流體，爆轟產(chǎn)物的流動(dòng)可視為等熵流動(dòng)。

根據(jù)鮑姆有效裝藥量的概念，對(duì)于如圖3.2所示半徑為r，高度為L的裸露炸藥柱，由于側(cè)向稀疏和后部稀疏作用，該藥柱的有效裝藥量w_eff為：

折合成一維藥柱后，其有效裝藥高度L_eff為：

　?。?.24）

同3.1.1節(jié)中p-t關(guān)系式的推導(dǎo)一樣，仍可得出：

　?。?.25）

其中，p_bx可由下列方程組的解給出：

　?。?.26）

式中，L和r為傳爆藥柱的高度和半徑，mm；D為傳爆藥柱的理想爆速，mm/μs；ρ₀和ρ_m0為傳爆藥柱和主裝藥柱的初始密度，g/cm3；a和b為主裝藥的Hugoniot常數(shù)；k為爆轟產(chǎn)物多方指數(shù)；p_bx為分界面處沖擊脈沖的初始?jí)毫?，GPa；p為分界面處脈沖在任意時(shí)刻的壓力，GPa；t為沖擊到達(dá)分界面的時(shí)間，μs。

式（3.24）～式（3.26）結(jié)合起來，可求出二維情況下傳爆藥-主裝藥間沖擊起爆壓力脈沖p-t關(guān)系。

3.1.2.2　p-t參數(shù)的數(shù)值計(jì)算

式（3.25）較為復(fù)雜，只能采用數(shù)值計(jì)算的方法求解。具體方法是給出p為某一小于p_bx的確定值，用Romberg求積分法計(jì)算，然后用對(duì)分法求解到該給定壓力下對(duì)應(yīng)的時(shí)間t。具體計(jì)算可采用程序[cal_plz.c]進(jìn)行。下面是該程序的基本結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。

/**cal_ptz.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此頭文件見本書4.1節(jié)**/
main()
{
Message（“P-T”）；     /****顯示提示信息*******/
Inputdat（8）；        /****輸入數(shù)據(jù)********/
Cal_Leff()；         /*****求有效藥高Leff******/
Cal_Pbx()；          /*****求峰值壓力Pbx（在1到PH+100之間）******/
Cal_ptz()；          /*****求p-T值******/
Print_pt()；         /*****打印p-T*****/

以下給出一組計(jì)算實(shí)例。為了使計(jì)算結(jié)果便于和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，所給參數(shù)與實(shí)驗(yàn)情況相同。

現(xiàn)有裝藥體積一定，高徑比不同的如下五種尺寸的JO-9C傳爆藥柱分別與有機(jī)玻璃（有機(jī)玻璃阻抗與大部分炸藥阻抗相近）接觸爆炸（?表示直徑，乘號(hào)后面的數(shù)字表示高度）：①?20.85mm×46.20mm；②?22.85mm×38.50mm；③?29.80mm×22.60mm；④?35.90mm×15.50mm；⑤?42.35mm×11.20mm。

傳爆藥柱初始?jí)核幟芏?i>ρ₀=1.705g/cm3，穩(wěn)定爆速測(cè)得為D=8.3mm/μs；有機(jī)玻璃密度ρ₀=1.185g/cm3；Hugoniot常數(shù)a=2.572mm/μs，b=1.536146。

以上參數(shù)輸入程序[Cal_puz.c]，分別求得以上五種不同尺寸傳爆藥柱的p-t數(shù)值解，如表3.1所示。輸入?yún)?shù)如下：

主發(fā)藥柱密度/（g/cm3）　1.705

被發(fā)藥柱密度/（g/cm3）　1.185

主發(fā)藥柱爆速/（mm/μs）　8.3

多方指數(shù)　3

被發(fā)藥柱Hugoniot參數(shù)a/（mm/μs）　2.572

被發(fā)藥柱Hugoniot參數(shù)b　1.536

主發(fā)藥柱直徑/mm　20.85　22.85　29.80　35.90　42.35

主發(fā)藥柱高度/mm　46.20　38.50　22.60　15.50　11.20

3.1.2.3　p-t參數(shù)的擬合計(jì)算

以上求得二維情況下傳爆藥-主裝藥沖擊起爆脈沖p-t關(guān)系的數(shù)值解。然而，在有些情況下數(shù)值解不便于應(yīng)用，需要以較為簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)。為此，本書在以上數(shù)值解的基礎(chǔ)上，通過最小二乘法數(shù)值擬合的辦法，求得較為簡(jiǎn)單的p-t擬合關(guān)系式，具體擬合計(jì)算用程序[cal_ptnh.c]進(jìn)行。下面是該程序的基本結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。

/**cal_pmh.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此頭文件見本書4.2節(jié)**/
main()
Message（“PT_NH“）；/*****顯示提示信息******/
Input_dat（8）；      /***輸入數(shù)據(jù)***/
Cal_Leff()；          /***求有效藥高Leff*****/
Cal_Pbx()；           /***求峰值壓力Pbx（在1到PH+100之間）****/
Cal_ptz()；           /****求p-T值**/
Cal_pnhO()；          /*****求p-T擬合曲線****/
Print_ptnh()；        /*****打印p-T擬合曲線方程****/
    }

對(duì)于3.1.2.2節(jié)所舉例的五種尺寸的傳爆藥柱，其p-t擬合關(guān)系式分別為：

p（t）=20.33-24.87t+11.05t2-1.53t3

p（t）=20.33-23.05t+9.50t2-1.22t3

p（t）=20.33-24.55t+10.77t2-1.47t3

p（t）=20.36-30.60t+16.70t2-2.84t3

p（t）=20.39-39.19t+27.36t2-5.95t3

上節(jié)p-t數(shù)值解結(jié)果和本節(jié)p-t擬合關(guān)系式的作用比較見圖3.3～圖3.7。圖3.3～圖3.7中虛線表示數(shù)值解，實(shí)線表示擬合曲線。