第一節(jié) 展開放樣

一、展開作圖

（一）展開作圖方法

展開作圖實質(zhì)是求得需展開構(gòu)件各表面的實形并依次展開，以便考慮板厚處理。展開作圖方法有圖解法（平行線法、放射線法和三角形法）、計算法、公式展開法、軟件貼合形體法、經(jīng)驗展開法。圖解法和計算法的原理如下。

（1）圖解法

圖解法是運用“投影原理”把三維空間形體各表面實體攤平到一個平面上，如圖2-1所示。

（2）計算法

計算法是運用“解析計算”方法，把三維空間形體各表面展開所需的線段實長或曲線建立數(shù)學(xué)表達(dá)式，而后繪出展開圖，如圖2-2所示。

（二）空間直線段的位置

求構(gòu)件各表面的實形時，往往會遇到需先求出平面各邊長的問題。空間直線段的三種位置見表2-1。

（三）工件圓周等分?jǐn)?shù)

表2-2為圓管直徑和等分?jǐn)?shù)。

（四）等分垂直高度計算

等分垂直高度計算如圖2-3（a） ～ （g）所示。

二、直線段實長的求法

圖解法中經(jīng)常會遇到求直線段實長的問題，所以要掌握其方法。由于一般位置直線的三面投影都不反映實長，所以要通過下述投影改造的方法來求。V為垂直面，H為正投影中水平面。求一般位置線段實長的方法有：直角三角形法、換面法、旋轉(zhuǎn)法和計算法等。部分方法的原理和作圖步驟見表2-3。

三、截交線畫法

平面與立體表面相交，可以看作是立體表面被平面切割，如圖2-4所示為平面與立體表面相交，切割立體的平面P稱為截平面，截平面與立體表面的交線ⅠⅡ、ⅡⅢ、ⅢⅠ為截交線，截交線所圍成的平面圖形△ⅠⅡⅢ稱為截斷面。平面與立體表面相交可以分為以下兩種情形。

（一）平面與平面立體相交

這種截交線是由平面折線組成的封閉多邊形。折線的各邊是平面立體各棱線與截平面的交線，其各點則是平面立體各棱線與截平面的交點。因此，求作平面時，立體的截交線可有兩種方法：一種是求各棱面與截平面的交線—棱面法；另一種是求各棱線與截平面的交點并依次連接—棱線法。

它們的實質(zhì)都是求立體表面與截平面的共有線、共有點。作圖時，兩種方法可結(jié)合應(yīng)用。例如求正垂面P與正三棱錐相交的截交線，如圖2-5所示。P為正垂面，正面投影PV有積聚性。

① 用棱線法直接求出P平面與sa、sb、sc各棱的交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′。

② 分別求出各點的水平投影1、2、3。其中點Ⅱ所在的sb棱為側(cè)平線，不能直接求出該點的水平投影2。

③ 為求得點Ⅱ的水平投影，過點Ⅱ在sbc棱面上作水平輔助線。即引2′2′′平行于b′c′，再由2″引垂線與sc相交（圖2-5中未注符號）。

④ 由sc交點引與bc平行的線交sb于2點。連接1、2、3、1即為所求截交線的水平投影。若截交線所在的表面可見，則截交線可見；反之則不可見。

求截斷面△ⅠⅡⅢ的實形，可采用一次換面法。

（二）平面與曲面立體相交

平面與曲面立體相交，其截交線為平面曲線。曲線上的每一點都是平面與曲面立體表面的共有點。所以，要求截交線，就必須找出一系列共有點，然后用光滑曲線把這些點的同名投影連接起來，即得所求截交線的投影。作曲面立體的截交線，有如下兩種基本方法。

素線法，即在曲面體上取若干素線，求每條素線與截平面的交點，然后依次相連成截交線；緯線法，在曲面體（一般為回轉(zhuǎn)體）上取若干緯線（一般為平行于投影面的圓），求每條緯線與截平面的交點，然后依次相連成截交線。

常見的曲面基本幾何體的截切情況如下。

（1）圓柱

平面截切圓柱時，由于平面對圓柱軸線的相對位置不同，其截交線可有三種情況，見表2-4。

圓柱被正垂面P截切時的截交線投影如圖2-6所示。

由于截平面與圓柱軸線傾斜，所以截交線是橢圓。截交線的正面投影積聚于PV，水平投影積聚于圓周。側(cè)面投影在一般情況下為一橢圓，需通過取素線求點的方法作出。

先求出特殊點，截交線的最左點和最右點（同時也是最低點和最高點）的正面投影1′、5′，是圓柱左右輪廓線與PV的交點；其側(cè)面投影1″、5″位于圓柱軸線上，可按視圖的主視圖、左視圖“高平齊”的規(guī)律求得，1″5″為橢圓短軸。截交線的最前點與最后點（兩點重影）的正面投影3′位于軸線與PV的交點；其側(cè)面投影3″、3″點在左視圖的輪廓線上，3″3″是橢圓長軸。按主視圖、左視圖“高平齊”和俯視圖、左視圖“寬相等”的投影關(guān)系求出截交線上一般位置若干點的正面投影2′、4′和側(cè)面投影2″、2″、4″、4″。通過各點連成橢圓曲線（3″1″3″為可見，3″5″3″為不可見）。同樣，用換面法可求得截斷面實形1°2°3°4°5°4°3°2°1°，也為一橢圓。

（2）圓錐

圓錐截交線隨截平面與圓錐面的相對位置不同而不同，一般有五種，見表2-5。

例如，圓錐被正垂面P截切時的截交線的投影和截斷面實形，如圖2-7所示。

截平面P與圓錐所有素線相交，截交線為一橢圓。截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚于PV，而水平投影仍為橢圓。為了找出橢圓上任意點的投影，可用素線或緯線法。

先求出特殊點，P平面與圓錐母線交點的正面投影1′、5′為橢圓長軸的兩端點，其水平投影在俯視圖水平中心線上，按“長對正”投影關(guān)系直接畫出為1、5。短軸為正垂線垂直于正投影面，在1′5′線的中點3′，過3′向錐頂引素線，并畫出素線的水平投影，則3′點的水平投影必在該素線的水平投影上，可按“長對正”求得短軸兩端點的水平投影3、3。為了畫出截交線的水平投影—橢圓，還需求出一般位置若干點的投影，即在主視圖截交線，以3′點為中心，左右對稱截取2′、4′兩點（不在各線段的中點），同樣用素線法求出各點的水平投影2、4，通過各點連成橢圓曲線得截交線的水平投影。截交線的側(cè)面投影仍為橢圓。可根據(jù)截交線的正面投影和水平投影，按“高平齊、寬相等”的投影關(guān)系求點畫出。

截斷面實形為橢圓，可用換面法求得。

四、相貫線畫法

多個形體互相貫穿交接時，其表面上產(chǎn)生的交線稱為相貫線。相貫線的形狀各異，但都具有兩個特性：一是兩形體表面的共有線，也是兩形體的分界線；二是封閉的（圖2-8）。由于相貫線是相交兩形體表面的共有線和分界線，于是可將其一一展開。

求相貫線的實質(zhì)就是在兩形體的表面上，找出一定數(shù)量的共有點，并依次連接。相貫線的求法主要有素線法、輔助平面法和球面法。

（1）素線法

本法是依據(jù)相貫線是兩形體表面共有線這一特性，從相貫線的積聚投影分點引素線求出相貫線的另一投影。現(xiàn)以求異徑正交三通管的相貫線為例，其作圖步驟如下（圖2-9）：

① 畫出相貫線的最高點（即主視圖中的左、右端點）的正面投影1′、1′和水平投影1、1；

② 畫出相貫線最前點的水平投影3，在支管斷面豎直直徑上，其正面投影3′點，可由側(cè)視圖上3″按“高平齊”的關(guān)系求出；

③ 按俯視圖、左視圖“寬相等”原則，通過2、2求得其側(cè)面投影2″、2″；

④ 根據(jù)2、2″點求得其一般點的正面投影2′、2′；

⑤ 連接各點得相貫線1′3′1′即為所求。

相貫線的簡便畫法如圖2-10所示。上述求相貫線的作圖方法是通過俯視圖支管斷面等分點及其對應(yīng)的側(cè)面投影求出其正面投影。為簡化作圖過程，實際工作中求這類構(gòu)件的相貫線多不畫出俯視圖和左視圖，而是在主視圖中畫出支管1/2斷面并作若干等分取代俯視圖；同時在主管軸線任意端畫出兩管1/2同心斷面；再分支管斷面為相同等份；將各等分點按主視圖支管斷面等分點旋轉(zhuǎn)90°，投影至主管斷面圓周上，取代俯視圖、左視圖“寬相等”的投影關(guān)系。

（2）輔助平面法

其原理也是根據(jù)相貫線是相交兩形體表面的共有線和分界線這一特性，它適用于截交線為簡單幾何圖形（平行線、三角形、長方形、圓）的情況。

現(xiàn)以求圓管與圓錐管水平相交的相貫線為例，其作圖步驟，如圖2-11所示：

① 按已知尺寸畫出相貫體三面視圖，8等分左視圖圓管斷面圓周，等分點為1″、2″、3″、4″、5″、4″、3″、2″；

② 由等分點引水平線得與主視圖輪廓交點，由圓錐母線各交點引下垂線交俯視圖水平中心線上各點；

③ 以s為圓心，以它到各交點距離為半徑畫出三個同心圓，得與圓管斷面圓周等分點轉(zhuǎn)向所引素線的水平投影交點為2、3、4；

④ 由2、3、4點引上垂線，與前所引各水平線（緯線）對應(yīng)交點2′、3′、4′為相貫線上一般點和最前點的正面投影；

⑤ 連接各點得相貫線1′3′5′即為所求（水平投影313為可見曲線；353為不可見曲線）。

（3）球面法

本方法特別適用于求回轉(zhuǎn)體在傾斜相交情況下的相貫線，其基本原理與輔助平面法基本相同，用的截平面是通過球內(nèi)截切相貫體以獲得共有點。

現(xiàn)以求圓管斜交圓錐的相貫線為例，說明其作圖步驟（如圖2-12所示）：

① 以兩回轉(zhuǎn)體軸線交點O為中心（球心），以適當(dāng)長度R₁、R₂為半徑，畫兩同心圓弧（球面）與兩回轉(zhuǎn)輪廓線分別相交；

② 在各回轉(zhuǎn)體內(nèi)分別連接各弧的弦線，對應(yīng)交點為2、3；

③ 連接各點得134即為所求。

交圓錐的相貫線

回轉(zhuǎn)體相貫線一般為空間曲線，在特殊情況下可為平面曲線。例如，當(dāng)兩個外切于同一球面的任意回轉(zhuǎn)體相貫時，其相貫線為平面曲線（橢圓）。圖2-13為兩回轉(zhuǎn)體的軸線都平行于某個投影面，則相貫線在該面上的投影為相交兩直線，圖2-14為等徑圓管彎頭及三通管的相貫線。

五、斷面實形的求法與應(yīng)用

求取斷面實形是展開放樣的重要內(nèi)容之一，它與斷面實形圖既有聯(lián)系，又有不同。前者一般是指截平面沿基本形體軸線垂直或平行截切所得圖形；而一般所說的斷面圖，多數(shù)指構(gòu)件的端面視圖，它是作構(gòu)件展開圖時確定周長伸直長度的依據(jù)。

通常運用求截交線的投影法求構(gòu)件的截斷面實形，現(xiàn)以求矩形錐筒內(nèi)四角角鋼角度為例說明，如圖2-15（a）所示。

由于矩形錐筒內(nèi)各側(cè)面交線為一般位置線，在各面投影都不反映實長，所以要用二次換面法。作圖步驟如下：

① 按已知尺寸畫出主視圖和俯視圖，由俯視圖AB線上任意點2，引AB的垂線得與底斷面兩邊交點1、3，由1、2、3點引上垂線，得與主視圖底邊和A′B′交點為l′、2′、3′ （A′），令2′點至底邊高度為h，1′2′3′ （A′）表示俯視圖A角兩面的局部視圖；

② 用一次換面法求兩面交線實長，在俯視圖13延長線上，取1″ （3″）2″等于主視圖h，由1″引1″2″的垂線，與由A引AB的垂線交于A″，則2″A″即為兩面交線部分實長；

③ 用二次換面法求兩面交角，在2″A″延長線上作垂線22°，與由l″（3″）引與2″A″平行線交點為2，取1°2、23°等于俯視圖12（等于a）、23（等于b），得1°、3°點，連接1°2°、2°3°，則∠1°2°3°即為所求相鄰兩面交角，也就是角鋼兩面應(yīng)有的角度，若在俯視圖中取22°等于夾角實形圖22°，則△123與△1°2°3°全等。

為簡化作圖步驟，實際工作中只需通過一次換面法便可在俯視圖中求出兩面交角，如圖2-15（b）所示。

六、板厚處理

當(dāng)板厚大于1.5mm、零件尺寸要求精確時，作展開圖就要對板厚進(jìn)行處理，其主要內(nèi)容是構(gòu)件的展開長度、高度及相貫構(gòu)件的接口等。

（一）板料彎曲中性層位置的確定

板料或型材彎曲時，在外層伸長與內(nèi)層縮短的層面之間，存在一個長度保持不變的中性層。根據(jù)這一特點，就可以用它來作為計算展開長度的依據(jù)。當(dāng)彎曲半徑較大時，中性層位于其厚度的二分之一處。

在塑性彎曲過程中，中性層的位置與彎曲半徑r和板厚t的比值有關(guān)。當(dāng)r/t＞8時，中性層幾乎與板料中性層重合，否則靠近彎曲中心的內(nèi)側(cè)。相對彎曲半徑r/t愈小，中性層離彎板內(nèi)側(cè)愈近。

中性層的位置可用其彎曲半徑ρ表示，ρ由經(jīng)驗公式確定：

ρ=r＋Kt

式中 r—工件內(nèi)彎曲半徑，mm；

t—板料厚度，mm；

K—中性層位移系數(shù)，板料彎曲和棒料彎曲的中性層位移系數(shù)分別見表2-6和表2-7。

注： d為棒料直徑，mm。

（二）不同構(gòu)件的板厚處理

不同構(gòu)件的板厚處理見表2-8。

（三）相貫件的板厚處理

相貫件的板厚處理，除需解決各形體展開尺寸的問題外，還要處理好形體相貫的接口線。板厚處理的一般原則是：展開長度以構(gòu)件的中性層尺寸為準(zhǔn)，展開圖中曲線高度是以構(gòu)件接觸處的高度為準(zhǔn)。

（1）等徑直角彎頭

圓管彎頭的板厚處理，應(yīng)分別從斷面的內(nèi)、外圓引素線作展開。即兩管里皮接觸部分，以圓管里皮高度為準(zhǔn)，從斷面的內(nèi)圓引素線；外皮接觸部分，以圓管外皮高度為準(zhǔn)，從斷面的外圓引素線；中間則取圓管的板厚中性層高度。作圖步驟如下：

① 據(jù)已知尺寸畫出兩節(jié)彎頭的主視圖和斷面圖，如圖2-17所示；

② 4等分內(nèi)外斷面半圓周（等分點為1、2、3、4、5），由等分點向上引垂線，得與結(jié)合線1′5′交點；

③ 作展開圖，在主視圖底口延長線上截取線11等于π （D–t），并將之8等分，由等分點向上引垂線，與由結(jié)合線各點向右所引水平線對應(yīng)交點連成光滑曲線，即得彎頭展開圖。

（2）異徑直交三通管

圖2-18是異徑直交三通管。當(dāng)考慮板厚時，由左視圖可知，支管的里皮與主管的外皮

相接觸，所以支管展開圖中各素線長以里皮高度為準(zhǔn)；主管孔的展開長度以主管接觸部分的中性層尺寸為準(zhǔn)；大小圓管的展開長度均按各管的平均直徑計算。