第2章 算術教學法

孩子所具備的全部必要知識，其實就是為了對數字有清楚概念而準備的。數量的概念存在所有感覺教學的教材里，如：較長、較短、較濃、較淡。相同與相異的概念，形成感覺教學真正技巧的一部分。孩子無法吸收老師快速給予的“某些數的概念”，但卻可經由本身慢慢地建立、發展而了解數的存在。

——蒙臺梭利

一、學習數字概念的第一步

第一個用來數數的教材是一系列不同長短的木棒，這些由1～10漸進的長度已經是感官教育的一部分。

第一個用來數數的教材是一系列不同長短的木棒，這些由1—10漸進的長度已經是感官教育的一部分。最短的木棒是10厘米長，第二根是20厘米長，等直到最長的是1米。當這些木棒被用來教數字時，讓我們感覺到的已經不只是顏色，也不再像只是用眼睛估計的長度。在此每根不同長短的木棒以每10厘米為一個單位，用一紅一藍相間的顏色涂好，則可用來區別和數算。如果第一根代表一個數量，其他的則連續代表2、3、4、5、6、7、8、9、10個數量，這個教材的長處是：雖然每根木棒都不同，但能數算，亦可組合在一起代表一個數量，例如第五根木棒完整的一根是代表5，但它是用顏色區隔成五個小單元組成的。由此可以克服一個很大的困難，在數算時，她們將一個個獨立的單元加起來。譬如在數算小物品(相同的小立方塊)時，她們先放一塊，說1，加上另一個則為2……。但孩子對每一個新物品則只說“1、1、1、1、1?！彼徽f“1、2、3、4、5?！?/p>

當她們教3歲半至4歲的孩子數算時，要將整個的單元變大時，會造成更大的困難。需要把獨立的小單元放在一起，組成一個整體的大單元，其實已超過孩子腦筋的思考范圍。許多孩子能數、能背誦記憶中一連串有序列的數目，但對數量的對應還是很不清楚。

對孩子來說，點算手指頭、手或腳很具體也很容易。因為他們知道去那里找這樣物品來數算這些數量，他永遠知道他有兩只手和兩只腳。

孩子不能很有把握的數算一只手有五根手指。但當他會數算出時，他不了解為什么一只手有五根手指頭？為什么他要數算同樣的手指頭“1、2、3、4、5”？這種年幼時期數算的錯亂，到他心智成熟后便會改過來。孩子絕對精確和具體的心智，需要明確具體的指點。當她們教數棒時，她們發現越年幼的孩子對它越有興趣。

所有的數棒配合數目，一單元、一單元逐漸地增長。它不但代表數字的絕對觀念，也給他們數字的相對觀念。在學習感官練習時，他們已經學會比例的觀念，在此他們用數學的方式來確認，這就構成學習算術的第一課。這些數目可以被拿來做比較，所以數棒馬上就被拿來組合和比較。譬如將1的數棒和2的數棒放在一起，即可變成和3的數棒一樣的數目；把2和3的數棒連接放在一起，可以變成和5的數棒一樣的長度。最有趣的活動練習，包括將數棒和感官練習中的長棒一樣，邊靠邊的一根根放在一起，結果變成像紅、藍色管風琴的音管，形成美麗相間的條紋。把1的數棒放到9的數棒旁邊(即把離數棒10最遠的一根放到離它最近的一根旁邊)，接著將2的數棒放到8的數棒旁邊；3的數棒放到7的數棒旁邊；4的數棒放到6的數棒旁邊，如此做出所有和10的數棒等長的組合。這種數量的移動擺放組合，難道不是開始在做算術的運算嗎？

在這輕松地移動物品的游戲中，孩子的智能不必白費力的去想一組分離的單位代表一個總數量的難題，它可以將精神投注在更高層次的活動練習，那就是預估放在一起的數量。障礙已然被排除，孩子的心智力量都被派上用場，而且學到超過他們年齡限制的進階課程。當孩子開始會閱讀和書寫時，學習數字符號已不再是難事。教師給他像砂紙字母一樣的砂紙數字的卡片，孩子描摹上面的符號，一方面學習怎么寫，一方面學習它的名稱。學會的卡片可以被放到相對應的數捧上。將數字和符號放在一起的活動練習，與將物品名稱和物品放在一起的活動練習是雷同的。當這個工作完成時，也已奠定孩子接著下來長期工作的基礎。數棒的總和可以被寫下來，放在對應的數量旁邊。有些5歲的孩子常常在小筆記本上寫下密密麻麻的小數字。

雖然數棒是孩子在學習算術的構成要素，其他還有兩種教材和它也屬于同一系列。其中之一，可以給孩子分開單位的數法和對數目集合體的觀念，并且將連續符號的概念呈現在孩子的眼前——0、1、2、3、4、5、6、7、8、9她們稱它為紡錘棒箱。教具盒子被分成10格，每格上面依序寫著0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的數字，孩子將和數字等量的物品分別放入格子里。他將每個單位組合在一起，在此所使用的物品是紡錘形的棒子。

另外一種教材是一個裝有一組卡片和一些物品的盒子(物品的顏色相同)，這些卡片上分別寫著0～9的數字。

孩子必先自己將這些卡片按照數字的順序排成一橫列，然后將適當數量的物品分別成雙的放在卡片下面。這樣讓他們很容易看出奇數和偶數的差別。

她們認為這些教材是建立數學教學和學習算術基本的必需品。

接下去的是一些比較細節的解釋，這些可能對實際教學比較有幫助。

這些紅、藍數棒必須先從左邊開始(每一根都由1開始)數算，然后按照長短，由最短的開始并排在一起，也就是1和2、2和3等等。放好之后再用手指由右邊開始，自每根數棒的尾端如同梯階般由下而上數到最長的一根，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

孩子因對這個有興趣，他們便不斷地練習從這三方面來證實1～10的數目概念。

現在除了在感官練習對它長短的認識外，她們又加上數算。先將這些數棒放在地上或混合的放在桌上，然后教師拿一根給孩子，要他算出上面有幾節，例如5。然后她對孩子說，給她一根長一點的，孩子用視覺去選擇。教師則觀察他。是否數算節數去比較長短，而得到他的結果。這個活動練習可以連續做幾次?，F在每一根數棒都單獨有自己的名字：1的數棒、2的數棒、3的數棒、4的數棒等等。最后按照他們操作的順序，他們只說：1、2、3、4等等。

(一)數字與符號

這時候，如果孩子已經知道怎么寫字，教師就給他砂紙數字。就和其他已經示范過的教材一樣教他們：“這是1”；“這是2”；“給我1”、“給我2”、“這是什么數字？”也要像字母一樣的描摹這些數字。

(二)量與符號的結

蒙臺梭利為數算的練習做兩個盒子(紡錘棒箱)，每個盒子又垂直劃分成5個小部分，每個隔間中都可放置物品。在每個隔間上分別放置著一個符號，第一個盒子是0、1、2、3、4，第二個盒子的是5、6、7、8、9。

這個練習非常明確，就是將和符號相同的數量的物品放在隔間里。在這個練習里，她們給孩子不同的物品讓他們可以替換著使用。例如，特別訂做的小紡錘、福祿倍爾的立方體和西洋棋等。孩子的身旁放著一堆物品，孩子必須把它們分別放在不同的隔間里。例如，一個棋子對應1、兩個對應2等等。當他做完時，他便請教師來檢查是否正確。

二、怎樣進行簡單加減法練習

數字，是一個字，一個書寫的符號，在演進過程中，人類的數學心智已能夠做無限的進展。

使用教長度的教材來做10以下的加減法，則容易許多。給孩子做好玩的問題，將木棒安排成一組。先將木棒按長到短排好，然后拿起最后一支放在9旁邊。同樣地，拿起倒數第二支2，放在8旁邊，如此一直做到5。

這個很簡單的游戲代表10以內數字的加法：9+1，8+2，7+3，6+4。然后，當他將那些木棒放回原位時，他必須拿走4放在5下面，然后依序拿3，2及1。這個動作讓他能以正確的順序放回木棒，同時，他也做了一連串的減法：10－4、10－3、10－2、10－1。

真正數字的教學，表示了從木棒到使用不同的單位計數過程的進展。當數字被知道時，他們所代表的是抽象的概念，而木棒代表的是具體的，也就是他們代表某一數字單位的“整體”。

語言的“綜合性”功能及它為智慧所開啟的廣大工作領域。是借“數字”的功能而顯示的，而數字可用木棒替換。

木棒的使用會將算術限于10或小一些數字的運算，即使比起感覺的基本教育在心智構造上的限制，它的進展仍非常少。

數字，是一個字、一個書寫的符號，在演進過程中，人類的數學心智已能夠做無限制的進展。

教材里有一個裝有光滑卡片的盒子，卡上粘著1到9的數字，是自砂紙上剪下來的。這個與卡片上黏有砂紙字母的那一組類似。教的方法一樣。小孩子先按書寫方向“觸摸”數字，同時講出它的名稱。

這次他要比上次學字母做較多的工作。先讓他看如將每一個數字放在數目一致的木棒上。當學會所有數字后，第一個練習是將數字卡放在按順序排好的木棒上。這樣的安排成相連貫步驟，孩子重復這個智慧游戲可持續許久，因為排卡片很有趣。

三、如何教兒童學單位組合練習

孩子拿著自己的數字，經過使用，他會知道如何將單位組合在一起。

在這個活動中，我們可用教材中的一組釘子，另外再給孩子們各式各樣的小東西——小木棒、小方塊、籌碼等。

這個練習是在數字對面放置它所代表數量的物品。小孩可用教材中的一只盒子，這個盒子隔成很多空間，在每一空格上，寫一個數字，然后小孩在該數字的空格里放置同數量的釘子。

另一個練習是將所有數字放在桌上，在其下放置它所代表數量的小方塊、籌碼等。

這只是第一步，在這本書里不可能涵蓋接下去的課程，如：0、10及其他算術內容，有關其他方面的發展，可參閱其他作品。其實這份教材也介紹了某個可行的方法，譬如，在裝釘子的盒子里，有一格上面寫“0”。在這格里“什么都不許放”，然后接著那一格才是“1”。

“0”代表什么都沒有，放在1旁邊方便我們數，當我們數到9時，接著便出現10。

如果不用1當單位，而用10的木棒，那么我們就可數10、20、30、40、50、60、70、80、90。教材中有一種框架里裝卡片，上面寫著號碼10到90。這些號碼固定在框上，可由另外放進去的1到9遮蓋0的部分。如果蓋住。的是1，則數字變成11，如果是2蓋住0，則變成12，以此類推到9，然后再看二十幾的部分(第H個10)，一直下去，從10到90。

這個練習剛開始時，可用木棒做11到19的數。就如框里開始從第一個10開始時一樣，教師拿代表10的那支木棒，然后將1的木棒放在0的位置，蓋住10內的零。之后，教師拿走1的木棒及數字1，將2的木棒放在10的木棒旁，數字2蓋住0，以此類推到90再做下去。

小孩子做這個練習時很有熱誠，因為是兩件工作，而且給予他們很清楚的概念。

四、零的練習

零的練習靠非常有意思的游戲來完成。

讓我們等到孩子指著0的隔間，問：“我必須在這里放什么呢？”然后回答他：“什么也不放，0就是沒有東西。”但是這還不夠，他們必須要感覺到什么是沒有。因為這個緣故，可以使用一些可讓孩子發生興趣的游戲。孩子圍繞著蒙臺梭利坐在他們的小椅上，蒙臺梭利對一個已經完成數算練習的孩子說：“來，親愛的，過來我這里0次。”幾乎每次這孩子都跑過來，然后回到他的位子上。蒙臺梭利說：“親愛的，你已經來了一次，而我是說0次?！彼_始猜測“那我該怎么辦呢？”“你不必做什么。0就是沒有。”“但是我怎么做沒有呢？”“不必做什么，你必須停在你的位子上，你不必動，你不必來。0代表一次也沒有?！?/p>

她們不斷地練習?！澳?，親愛的，用你的手指給我送0個飛吻。”這孩子搖搖頭，笑著不動。蒙臺梭利再用非常感性的聲調重復說：“給我0個飛吻、0個飛吻吧?！钡攘艘幌?，大家都笑了。蒙臺梭利故意把聲音裝的很生氣的樣子，然后很嚴肅地對一個孩子：“你過來0次。”他沒有動。因為蒙臺梭利的態度由乞求轉變成威脅，使他們很興奮。他們的笑聲變成爆笑。

然后蒙臺梭利的聲調轉成可憐、悲哀的呻吟：“但你為什么不給我飛吻？為什么不來？”每個人眼中充滿著高興歡笑的淚光，叫著說：“0就是沒有，0就是沒有。”蒙臺梭利終于非常平和地笑著說：“啊，對的！現在每個人都過來一次?！彼麄兠總€人都向她靠過來。

就是在這樣的游戲中，蒙臺梭利完成了她的教育。

五、數字記憶練習

孩子不但要穿梭在同伴之間，還要記住他的零數字。

當孩子知道怎么寫數字，并且知道數字的意思，就要他們做下面一個練習。

準備一疊紙條，上面有印好的，或用手寫的由0～9的數字(蒙臺梭利經常用日歷，只要把旁邊去掉留下中間的數字就行了，如果可能的話，她會選擇紅色的)?！卑鸭垪l折起來放在一個抽簽用的盒子里。孩子抽出一張紙條帶回他的位子上，仔細地看過再折好，把他的秘密藏好。然后持有紙條的孩子(當然是那些比較大、那些認得數字的孩子)一個個或甚至一組組，走到教師放著一堆物品的大桌上——有小立方體、福祿倍爾的小磚塊，和用來做輕重練習的木片。每個人照著他們的數字拿他們所須物品的量。折起來的紙條藏著一個秘密，而數字仍然保存在孩子那兒。孩子不但要穿梭在同伴之間，還要記住他的數字。當他在搜集物品時，也要記得他的數字然后一件件的點算。這時教師便有機會做很有趣的個人觀察，看他們怎樣記數字。

當他做完時，他必須等教師來檢查他的工作；教師來之后打開紙條，如果他的工作沒有出錯，教師會很高興地贊美他。

游戲剛開始的時候，孩子經常會拿比他們的數字還要多的物品。這并不是他們不記得數字，而是他們渴望擁有比較多的物品。這是一個非常普遍、原始而沒受教育的人本能上的小弱點。教師試著對學生解釋從桌上拿太多物品是沒用的，這個游戲的重點是能準確的猜測數量。

雖然不容易解釋，但孩子漸漸能夠掌握這個觀念。

教孩子保持在規定的范圍，是一個真正自律的訓練。譬如說，要他在一堆他可隨便取拿的物品中只拿兩樣，而他的同伴拿得比他多。所以蒙臺梭利覺得這個游戲是訓練意志的成分，比訓練數字的成分多。

抽到0的孩子，坐在他的位子上不動。他看到其他有紙條的孩子都站起來隨意走動、隨意拿取物品，而他卻不能拿。抽到0的孩子經常是那些已經知道怎么算、怎么把一組物品照秩序排在桌上，而很有信心的等待別人來檢查他們工作的人。這時拿0的孩子臉上表情一定非常有趣，每一個不同的表情可代表各個不同的性格。有的不動聲色，非常驕傲的試著隱藏內在幻滅的痛苦；有的則用很短暫的姿勢表現他們非常失望；有的藏不住露出好奇的微笑，而導致其他同伴的好奇心；有些人跟著其他同伴一起移動直至游戲的最后，非常明顯地露出他們的期望甚至是忌護；有的表現得很認命的樣子。

當他們承認他們拿到0的態度也會非常有趣，在受檢查的時候，當教師問：“你，你是不是拿到沒有?！薄拔矣??！薄八??！薄拔业氖?”這些都是最普通的回答。但是他們的姿態、聲音的音調則流露出不同的感覺。很少人敢大膽的把它們解釋成沒有，他們大多數人都覺得氣悶或放棄的事實。有些行為上的教訓是必須學的?！靶⌒?！要保守0的秘密是非常困難的。0使你感到困惑，你要非常小心不要讓別人知道你是0。”過不了多久，自尊心(自傲)的尊嚴占優勢，孩子漸漸習慣接受0和小數目，而不受其干擾，并且覺得很滿足。而且他們能不露出一點他們最初被擊敗的感覺。