2.2.2 正弦交流電的相量表示法

在線性電路中，正弦交流電源激勵在電路中引起的響應，是頻率相同的正弦電壓或正弦電流，所以在分析正弦交流電路時，可不考慮角頻率或頻率的差別，而只考慮幅值或有效值，以及初相這兩個要素的差別。

基于這個考慮，并為了便于分析正弦交流電路，提出了用相量來等價表達正弦量的方法，稱為相量表示法，表達的結果稱為相量表達式。相量表示法：對正弦量a，其對應的相量為有效值A上加一小圓點，記作；相量是一個復數，采用極坐標式表達，復數的模為正弦量a的有效值A，復數的輻角為正弦量a的初相。即，對正弦量a＝A_msin（ωt+ψ），其對應的相量表達式為

該式也稱為正弦量a的有效值相量式。

相量是復數，但不能說復數就是相量，相量是一個與正弦量相對應的復數。為了有所區別，相量符號上會加一個小圓點，而一般的復數則不用加此圓點。

有些地方，正弦量a＝A_msin（ωt+ψ）對應的相量也用幅值相量來表達，即

即正弦量a對應的相量為，該復數極坐標式的模為正弦量a的幅值A_m，輻角為正弦量a的初相。

一般來說，正弦量a的幅值相量用得比較少，而常用的是有效值相量。

于是，對正弦電流i，其瞬時表達式和對應的相量式為

對正弦電壓u，其瞬時表達式和對應的相量式為

需要注意的是，正弦量的瞬時表達式和其相量式可以相互表達，即知道其中一個表達式，可以寫出另一個表達式，即這兩種表達方式是等價的。但正弦量和其相量并不相等，正弦量是隨時間變化的實數，而其相量是一個不隨時間變化的復數。比如，I_msin（ωt+ψ_i）≠I∠ψ_i。

相量的作用：可用于簡化瞬時表達式的計算。見如下例題。

【例題2.1】在如圖2.2所示正弦交流電路中，與節點a相連的支路有4條，支路上的電流如圖所示。其中3條支路的電流分別為i₁＝5sinωtA，i₂＝8sin（ωt－30°）A，i₃＝10sin（ωt+90°）A。求支路電流i。

解答：對節點a，所有電流的瞬時表達式是滿足基爾霍夫電流定律的，即有

直接將正弦電流i₁、i₂和i₃的表達式代入式（2.45），通過三角函數關系，可以計算得到電流i，而且計算得到的電流i肯定還是一個正弦量。但這樣計算比較復雜，可以采用對應的相量來計算，然后根據相量表達式，寫出電流i的瞬時表達式。

對節點a，如果各正弦電流的瞬時值符合式（2.45）的約束，則各正弦電流的相量也滿足同樣的方程，即有

于是有

根據相量與對應正弦量的關系，求得正弦電流i為