2.1.1 復數的概念和復數的表示方式

1.復數的概念

在求解形如x2+1＝0的一元二次方程時，發現這個由實數構成的方程卻沒有實數解。為了數學上的完備，給這類方程一個解，由此逐步發展出了虛數和復數的概念。首先，定義虛單位i：

于是，i和－i就是方程x2+1＝0的兩個解。

在實數和虛單位的基礎上，定義復數z為

其中，a為實數，b為實數，i為虛單位；b·i可直接簡寫為bi。

在復數z的定義式中，稱a為復數z的實部（Real Part），b為復數z的虛部（Imaginary Part），表達為

需要強調的是，這里的a和b都是實數。

對復數z＝a+bi：如果a＝0，而且b≠0，則稱z為純虛數或虛數；如果b＝0，則復數z退化為實數。這也表明，任何一個實數都是復數，即實數集R是復數集C的子集或真子集。

在電工學領域，由于虛單位i與電流i容易混淆，改用j來代表虛單位。于是，在本書中，一般的復數z就表達為

由于bj表示的是b·j，而乘法滿足交換律，所以復數z也可表達為

并用|z| 表示復數z＝a+bj的模，其定義為

如果復數z₁＝a₁+b₁j，復數z₂＝a₂+b₂j，要使z₁＝z₂，必須

即復數相等的必要條件是兩個復數的實部相等，且兩個復數的虛部相等。由于實部和虛部的存在，一般來說，兩個復數不能比較大小，除非是實數。

2.復數的表示方式

數學中，定義復平面為一個二維直角坐標系，橫坐標軸為實數軸，縱坐標軸為虛數軸。于是復數z＝a+bj與復平面中的坐標（a，b）就成一一對應關系了，可以用復平面中的坐標（a，b）來表示復數z，如圖2.1所示。

復數在復平面的點坐標表示法稱為復數的代數式，即

復數又可以用有向線段來表達，即向量表達，如圖2.1所示由原點O指向z點的向量。該向量的長度為r，與實數軸的夾角為θ。如果以O點為極點，以實數軸為極軸定義一個極坐標系，復數向量就可以用極坐標來表達，稱為復數的極坐標式，即

其中，r為復數向量的線段長度，θ為輻角。這里定義θ的范圍為θ∈［－π，π），即復數中輻角的主值，記作θ＝arg（z）。顯然，復數的模等于復數向量的線段長度，即|z\＝r。

根據圖2.1所示的幾何關系，易知復數z極坐標式的系數r和θ，與其代數式系數a和b的關系為

反過來，由極坐標式系數到代數式系數有

在復平面內（見圖2.1），根據三角函數關系，還可以將復數z表示成三角式的形式：

通過歐拉公式：

還可以將復數的三角式進一步表達成復數的指數式：

復數z的4種表示形式，即代數式、極坐標式、三角式和指數式是等價的，要根據需要靈活的相互轉化，即有

其中，復數不同表示形式的系數關系見式（2.10）和式（2.11）。

復數的表示形式，本章用得較多的是復數的代數式和極坐標式。