1.4.2 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律，簡稱為KVL，又稱為回路電壓定律，表述為：在某一時刻，對電路中的一個回路，沿該回路繞一圈，所有元件上電壓升之和恒等于電壓降之和，即

如果約定，沿回路繞行一圈時，元件上電壓升高，在電壓前取“+”號，元件上電壓降低，在電壓前取“－”號（反之亦可），則可將KVL表述為：在某一時刻，對電路中的一個回路，沿該回路繞一圈，所有元件上電壓的代數和為0，即

式中，U_i為回路上升高或降低的電壓。

下面以圖1.18所示電路為例，介紹如何運用基爾霍夫電壓定律對回路列電壓方程。此電路有A、B、C、D共4個節點，3個網孔，6條支路。

首先，對每條支路標上電流及其參考方向，然后對每個元件標上電壓及其參考方向，并盡量使同一個元件上的電壓參考方向與電流參考方向關聯。

然后，選擇包含電壓源E₁的網孔，取各元件兩端的電壓。因為它是一個回路，可以運用基爾霍夫電壓定律列電壓方程，假設從A點出發，順時針轉一圈回到A點：在向上經過電壓源E₁時，按照E₁參考方向可知，電壓是從“－”端到“+”端，電壓升高，所以電壓取E₁；水平向右經過電阻R₆時，電壓是從“+”端到“－”端，電壓降低，所以電壓取－U₆；經過電阻R₁時，電壓降低，取－U₁；經過電阻R₅時，電壓升高，取U₅。

最后，根據式（1.10）列回路電壓方程，即沿回路一圈所有電壓的代數和為0，有

即

同理可得，對包含電壓源E₂的網孔，順時針轉一圈，其回路電壓方程為

對包含電阻R₁、R₂和R₃的網孔，從C點出發順時針繞一圈，其回路電壓方程為

更進一步，如果對每個電阻運用歐姆定律，就可以用電流來表達電壓。對電阻R₆，因為流過它的電流I₆與它兩端的電壓U₆的參考方向關聯，根據歐姆定律可得

需要注意的是，如果電阻上電流參考方向和電壓參考方向非關聯時，歐姆定律的表達形式，與兩者參考方向關聯時的表達形式相比，剛好多了一個負號，見式（1.3）。雖然電流參考方向和電壓參考方向可以隨便選取，但為了運用歐姆定律或運用功率公式時表達式簡單一點，最好將電流參考方向和電壓參考方向標成關聯的。

同理可得，電阻R₁和R₅上電壓和電流的關系為

將式（1.15）和式（1.16）代入式（1.12）可得

這樣，就用電流表達了回路電壓方程。我們知道，對電路中的節點，節點電流方程是用電流來表達的。聯合回路電壓方程和節點電流方程，就可知道電路中各支路電流該滿足的所有約束關系。求解這些方程，就可以計算出各支路的電流。這就是將回路電壓方程也用電流來表達的原因。

在電路中，既標電流參考方向，又標電壓參考方向，會使得電路中的符號特別擁擠，電路圖看起來不夠簡潔。如果默認電壓參考方向與電流參考方向關聯，則可以只標電流參考方向，而不標電壓參考方向，對電阻直接運用歐姆定律U＝IR，用電流來表達電壓，從而一步到位，寫出回路電壓方程。此時，尤其要注意沿回路一圈時，電壓的升降與取正負的關系是由電壓參考方向和沿回路的繞行方向決定，而與元件上電壓電流的參考方向是否關聯無關。

在對基爾霍夫電壓定律不太熟練時，電壓和電流的參考方向都需要標出，先對電壓列回路電壓方程，然后根據歐姆定律把電壓用電流表達出來，然后代入回路電壓方程，得到用電流表達的回路電壓方程。熟練掌握基爾霍夫電壓定律后，可以只標電流參考方向，直接一步到位列出用電流表達的回路電壓方程。

基爾霍夫電壓定律描述的是一個回路上各電壓之間的關系，既適用于直流電路，也適用于交流電路，既適用于線性電路，也適用于非線性電路，即在任一時刻，對一個回路，順時針或者逆時針繞回路一圈，電壓的代數和為零。如果要進一步用電流來表達電壓，需要在電路元件上運用歐姆定律或者其他物理定律，建立電壓和電流的關系。對于線性電路，電路元件上電壓和電流之間呈線性關系，而對非線性電路，元件上電壓和電流之間呈非線性關系。線性或者非線性只是影響電壓和電流之間的關系，不影響回路中各電壓之間的約束關系。

推廣一下，對開口回路，或稱開口電路，基爾霍夫電壓定律也是成立的。所謂開口回路，是指某一部分電路，它沒有構成閉合回路，有兩個斷開的端口，如果在這兩個端口之間標上電壓及其參考方向，從電壓連續的角度，就可以構成一個虛擬回路。

對開口回路運用基爾霍夫電壓定律，是求電路中任意兩點之間電壓的一種方法。

在圖1.19所示電路中，點a和點b分別是導線的兩個端口，也就是a、b之間是斷開的。圖中，用虛線橢圓表示不同的回路。其中，回路1是一個閉合回路；而回路2則是一個開口回路，實際上它并不閉合。

對閉合回路1，可以運用基爾霍夫電壓定律列回路電壓方程。由于電路只有一個閉合回路，所以I₁＝I₂。則回路電壓方程為6－I₂R₁－I₂R₂＝0[1]，求得I₂＝1.2A。

對開口回路2，由于基爾霍夫電壓定律也是成立的，也可以對其列回路電壓方程。在斷開的a、b兩端標上電壓及其參考方向，于是有

從而求得U_ab＝10.4V。

當然，在圖1.19所示電路中，除了開口回路2，還有其他的開口回路，比如從b點出發，繞電路最外一圈到a，然后回到b。也可以選擇這個大的回路來運用基爾霍夫電壓定律，求開口電壓U_ab。

采用開口回路，可以求電路中任意兩點之間的電壓。選擇開口回路時，一般選擇電路元件最少的回路，因為這樣列方程和求解會簡單些。

下面一個例題綜合地表明了運用基爾霍夫電流定律和電壓定律分析電路的基本思路，并用計算功率的方法判斷電路元件是電源還是負載。

【例題1.3】已知直流電路中有5個元件：1、2、3、4和5，各電壓和電流參考方向如圖1.20所示。已知U₁＝12V，U₂＝－18V，U₄＝20V，I₁＝4A，I₂＝6A。求U₃和U₅，并判斷這5個元件，誰是負載，誰是電源。

解答：在圖1.20所示電路中，共有兩個網孔。運用基爾霍夫電壓定律，對這兩個網孔列回路方程有

求得U₃＝30V，U₅＝－10V。

對節點a，運用基爾霍夫電流定律，列節點電流方程有

求得I₃＝－10A。

運用功率公式（1.4）可得，電路中5個元件的功率分別為

由于P₁＞0、P₂＞0和P₃＞0，所以元件1、元件2和元件3為負載；由于P₄＜0和P₅＜0，所以元件4和元件5為電源。而且還可發現，該電路所有功率之和為0，滿足能量守恒原理。