13.樹葉上的幾何學

【題目】在一棵大楊樹下，由它的根部又冒出來一棵小楊樹。扯下小樹上的葉子觀察，會發現它比大楊樹上的葉子大很多。因為小楊樹長在大楊樹的陰影下，只有增加自己的葉面面積才能吸收到自己生長需要的陽光。雖然這個問題應由植物學領域的人去探究，不過身為幾何學家，還是可以探討一下小楊樹葉子面積究竟是大楊樹葉子的幾倍。

如何求解？

【題解】計算這道題目的方法有兩種：第一種，逐個算出每片樹葉的面積，再計算它們的比值。測量樹葉面積可用帶固定大小方格的透明紙來完成。這個方法很簡單，但是要細心，優點在于其能夠測量形狀怪異的葉子面積。

第二種，可以用葉子的相似性求解，這需要兩棵樹的葉子形態很接近才行。我們知道，樹葉的面積比值等于其直線大小的平方比，于是只需要測量其直線大小比值，便能夠知道其面積比值。舉個例子，如果小楊樹上葉長15cm，大楊樹上葉長4cm，于是其直線大小之比為15：4，其面積之比為225：16。求整后分析，小楊樹葉子的面積大概是大楊樹葉子的面積的15倍。

【題目】有一棵在陰面長成的蒲公英葉長31cm，而一棵在陽面成長起來的葉長僅有3.3cm。求陰面蒲公英葉面面積是陽面蒲公英葉面面積的多少倍？

【題解】我們還是按照剛才介紹的方法計算。陰面和陽面葉面面積的比例是：

這意味著，陰面的葉面面積為陽面葉面面積的88倍。

在樹林里能看到眾多形態各異大小不同的樹葉，這些都是研究近似圖形面積比的素材。也許有些人一時半會兒還難以理解，兩棵樹上的葉子的長和寬較為接近，卻在面積上有那么大的差異，比如有兩片形似的樹葉，一棵樹上葉子的直線長度為另一棵樹上葉子的直線長度的120%（1.2：1），但是這兩棵樹上的葉子的面積的比值卻為：

1.22≈1.4，即1.4：1

若這棵樹上的樹葉直線長度為另一棵樹上樹葉直線長度的40%，這樣一來，它的樹葉面積就是另一棵的近2倍：

1.42≈2

【題目】計算一下圖22和圖23中的樹葉面積。