6.不用埋單的午飯

一

讀完中學了，有10個中學生盤算著找個餐館一起祝賀一下。待眾人都到了之后，侍者送上了第一盤菜，就在此時，中學生們卻為座位的事吵鬧起來。有人覺得大家應該按名字的拼讀次序入座，也有些人覺得應該按年齡排序依次落座，還有人覺得應該按成績依序就座，其余的人覺得應該按身高依次坐下……一幫剛走出中學校門的人就為這件事僵持著，直到湯都不冒熱氣了，還沒有一個人入座用餐（圖54）。

侍者上前開導了一番，才使眾人的矛盾華為烏有：“中學生朋友們，請大家先安靜下來。大家坐在靠近自己的座位上聽我講幾句好嗎？”

大家隨便找了位子一一落座。侍者接著說道：“就請你們中的一個人熟記大家的座次。歡迎你們明日再來用餐，座位另有安排，后天可依別的座次落座，按照這個辦法一直順延，一直到大家換完所有的入座方式。如果哪天又輪回坐今天的座次，我請諸位免費吃我們這里最好吃的午飯！”

侍者的提議得到大家一致的贊同，他們就依照他的建議每日到此處用餐，并不停地變換落座方式，企盼免費用餐的日子快快到來。

可是，他們左等右盼就是吃不到免費的午餐。這不是侍者食言，而是變換座次的方法多得難以想象。他們算了算，座次的排列種類居然有36 288 00種之多。

由此他們很快就推算出，按他們這種方式變換座次，要換回第一次的落座次序得用9 942年。也就是說將近10 000年才有可能吃上侍者許諾的那頓免費的午飯，時間確實太長了。

二

難道你不信10個人有那么多種落座方法？那我們一起來求證一下。可是我們還需弄明白，如何實現座次的變換。我們找個簡便的辦法，大家來看看以下3個物品的擺放次序。我們就命名它們為A、B、C（圖55）。

我們首要的問題是如何互換它們的位次。我們首先來推演一遍：假若不考慮C的話，那么余下的2件物品的位置就有如圖56中的2種：

接下來，我們要將C置入這兩組隊列。那么共有3種擺放方法：

（1）讓C位于各列之末；

（2）讓C位于各列之首；

（3）讓C位于另外2件物品中間。

很明顯，拋開這三種排列方式，對物品C而言就沒有另外的排列方式了。從圖中大家不難發現總共2種排列方法——AC及CA，也就是說此3種物品的排列方式為6種（2×3）（圖57）。我們來看圖就可知這些排列方式分別是什么。

大家接著往下看，下面我們來求解4件物品的排列方式。我們假設現在有4件物品，我們分別稱其為A、B、C、D。與上面一樣我們把它們中的某個，比如D先擱到一邊，我們來推導A、B、C三者間所可能有的擺放方法。由前我們獲知，此三件物品的排放方法有6種。那到底可以采取幾種方式把D擱進那6種擺放方式中？明顯地，共有4種辦法對不對？

一是在各列物品后擺上D；

二是在各列最前面擺放D；

三是在A、B之間放上D；

四是在B、C之間放上D。

那么，大家就會知道總共有24種排列法（6×4）。

由于6等于2與3相乘，2又等于1乘以2，于是該結果若是用乘法表示的話便為：1×2×3×4=24。

采用相同的辦法我們便可推算出，若擺放的物品有5類，所可能的排法便為：1×2×3×4×5=120。

我們繼續推演一下6件物品的排列方式：1×2×3×4×5×6=720。

大家可以依序逐次進行下去。

到這里我們就先告一段落，回到10位用餐者變換座次的事件（圖58）。我們具體來看看會是什么樣子。

若是大家能成功求得下面式子的值，也就會知道一共有多少種座次變換方式：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

計算結果跟前邊的結果一致，都是3 628 800。

三

假若那十位中學生用餐者內有5位女生，她們又想與男生交替就座，那么一來運算就要麻煩一些。盡管在此情景下，落座的方式會變得少一些，可是卻增大了運算的難度。倘若我們假定有1名男生見到座位便入座。其余的4名男生，若在兩位男生間空一個座位給女生，這樣一來可能有的就座方式便是1×2×3×4，即24種。總共就10張凳子，那么首先落座的男生就有10種就座方式。我們推算下來，男生們可采用的就座方式就有240種（10×24）。女生的落座方式有幾種呢？答案是120種（1×2×3×4×5）。如果把男生所有的座次變換方式與女生的可采用的座次方式相乘，便可得到總的可采用的座次方式有28 800種（240×120）。

這么求得的結果較之我們前面運算的值是不是小了不少，可是就按這樣的方式變換座次也得用79年的工夫——除非這10位學生都能活到100歲，否則他們就享受不到他們夢寐以求的那頓美味的免費午餐——那位承諾請他們免費用餐的服務員也許都不在了，只能由后繼者為他們服務了（圖59）。