4.棋盤的由來

象棋（特指國際象棋）是古代流傳下來的娛樂活動。它的歷史約有兩千年，正因為歷史悠久，流傳于坊間的關于象棋的小故事有很多，無從考證它們的真實性。我下面要告訴大家的就是一個與象棋有關的在民間廣為流傳的故事。要搞清楚這個故事與會不會下象棋無關，大家只要知道象棋得在有64格的棋盤上玩就行了。

一

象棋的發源地是印度。就連舍拉姆皇帝剛玩象棋之際，都對玩這個游戲所應具備的技能和變幻莫測的布局感慨不已。當他聽說這項娛樂活動的發明者是一個普通臣民后，就決定要賞賜這個人。

象棋的發明者塞塔被召喚到皇帝跟前，他以教書育人為生，不怎么講究衣著，但知識淵博。

“你發現并大力推廣的游戲有益于提升大家的智力，也非常有意思，所以我有意獎賞你，我的學者塞塔。”

發明家向皇帝行了一個禮。

“我的國庫很殷實，你想要什么我都會成全你。你盡管講你想要的賞賜，我會滿足你的心愿的（圖42）。”

發明家一言不發。

“別不好意思，”皇帝安慰道，“你不妨直言相告，我會慷慨地賜給你想要的東西。”

“仁慈的陛下，請您允許我想想。我得好好思考一番才能告訴您，明日我會說出我的需要。”

皇帝應允了。

思考了一夜，天亮后發明家依約趕到了皇宮，他微不足道的請求讓皇帝震驚不已。

“請您下旨，在棋盤上的第一格給我放一粒小麥。”

“就只要一粒小麥？”皇帝不解地問。

“正是，慷慨的陛下。請您下旨，在第二格擺2粒小麥，第三格放4粒小麥，第四格擱8粒，第五格16粒，第六格32粒……”

“行了！”皇帝非常生氣，怒氣沖沖地阻止發明家繼續說下去（圖43），“我會獎賞你想要的微不足道的小麥的，可是你的要求與我期望給你的賞賜太不匹配。你期望得到的獎賞與我的身份、地位及財富相去甚遠，你無視我的威嚴，輕視我的仁愛。你是一位教師，理應懂得怎么對待君王及他愛民如子的情懷，你應該在眾人面前率先垂范。你可以走了。我會下旨讓仆人將你要的麥子給你的。”

發明家滿足地笑了，走出大廳，徑直到皇宮前的門口候著自己的賞賜。

二

用午膳的時候，皇帝記起了發明了象棋的塞塔，便派人去查看那位過于草率的發明家有沒有領走獎賞。

“仁慈的皇帝，大家正在遵您的諭旨行事。宮里的所有數學家都在算您答應給發明家的小麥數目。”

皇帝面露不悅之色。他受不了仆人們不把自己的命令當回事，拖拖拉拉。

夜里臨睡前，國王又想起了賞賜發明家小麥的事，便又一次過問發明家是否已帶著自己的獎賞離去。

“日理萬機的陛下，您所厚愛的數學家們還在廢寢忘食地計算應給發明家的麥子的數目，他們都想盡辦法以期在日出后獲得確切的結果。”跟隨皇帝的仆人回稟道。

“就這么點兒事，這么長時間還處理不好？”皇帝怒不可遏，吼道，“天亮前，在我睡醒的時候，就一定得把小麥給發明家。我不想為這件事再下旨！”

皇帝起床后，仆人稟報，宮里的首席數學家有要事請示。皇帝命其進宮（圖44）。

“我想知道，”還沒等首席數學家說話，皇帝就急切地說，“那個塞塔要的微不足道的賞賜給了沒有？”

“微臣正為此事才鼓起勇氣覲見您。”德高望重的數學家回稟皇帝，“經宮里所有的數學家晝夜反復計算，認真核實，那個塞塔所要的小麥數量實在是太驚人了……”

“不管有多少，”國王不等全國最聰明的數學家講完，便說，“國庫有的是糧食。我答應了賞賜他，你們就趕緊給他吧……”

“您的大度和慷慨令微臣敬佩，可是吾皇您無法辦到呀！拿出您所有的糧食也無法滿足塞塔的要求，王國所有的糧食也不足以給塞塔，整個地球上的糧食都不夠給塞塔。倘若您還執意兌現所承諾的獎賞，那您只有下旨讓全國的人開荒種小麥，甚至填海造田，連常年積雪不化的北方也得千方百計融雪開墾種小麥。然后您再下旨，把所有收獲的小麥送給發明家，唯有如此方可兌現自己的諾言。”

首席數學家的一番話驚得皇帝半晌說不出話來。

“你們算出的數字非常龐大？那好，你說給我聽聽吧。”皇帝半信半疑地說道。

“18 446 744 073 709 551 615粒小麥（圖45）。”

三

流傳于民間的故事就是這樣的。至于是否真的發生過這樣的事我們不得而知，可是故事中皇帝愿意賞賜的小麥數量確實是這么多。小伙伴可以自己用心算算，從數字1起，以此加1、2、4、8……也就是對2求63次平方，求出的最終值便是皇帝答應付給發明家的獎賞。以此書的計算方法，是拿最后一個數與2相乘后與1求差，如此便可知道所應付給發明家的小麥數目。換句話說，就是要運算2與2相乘63次的值，即：

2×2×2×2×2……（2與2相乘63次）

為了使運算變得容易些，大家可將需相乘的64個2依照每組10個的標準，分為6組，其余的一組4個2。如此一來，我們很容易便可求出10個2連乘的結果為1024，4個2連乘為16。這意味著，我們運算的最后值為：

1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×16

通過計算，1 024×1 024為1 048 576。于是運算式便可以寫成如下的形式：

1 048 576×1 048 576×1 048 576×16

計算出最終值后減一——就會得到與前面所求相同的小麥數目，即：

18 446 744 073 709 551 615

倘若大家有興趣聯想小麥的數目到底如何驚人，不妨通過求儲存它的庫房的面積來了解。已知一立方米儲藏的小麥數目為1 500萬粒。那么，通過我們的推算，發明家應得的小麥所需占用的庫房面積為12 000立方千米（也就是12 000 000 000 000立方米）。

如果將庫房的高設為4米，寬是10米，推演下去的話庫房的長應為300 000 000千米——換言之，太陽和地球間的距離僅為庫房長度的（庫房長為太陽和地球間距的2倍）（圖46）。

四

很明顯，印度的皇帝即使再慷慨也兌現不了自己的承諾。不過他要是夠聰明的話可以找個免責的辦法，他可以提出讓發明家親自清點一下他自己所要求的小麥數量。

若是發明家要清點獎賞給他的小麥數目，他就得晝夜不歇地工作，就算他以1粒/秒的速度數，一夜的工夫他最多數出86 400粒小麥（也就是俄斗，俄斗是俄國舊的度量衡，也是體積的單位。1俄斗=26.239升）。發明家10天10夜不停地清點才能數出100萬粒小麥。1立方米小麥他得數上180多天，就算他夜以繼日地清點上10個年頭，經他手清點的小麥都不足100俄擔（俄國舊的度量衡單位即體積單位。1俄擔=8俄斗）。通過以上的計算，大家應該可以看出，就算發明家一直忙著數自己所要的小麥，那么，即使他數到自己生命的盡頭，他所清點的小麥數目也只不過是他應得的微乎其微的那部分（圖47）。