2.有趣的硬幣游戲

可見和不可見的硬幣——沒有底的杯子——硬幣都去哪里了？——任務：放硬幣——硬幣在誰的手里？——小游戲：擺硬幣——一個關于古印度的傳說——求解難題。

“哥哥，你昨天答應為我表演硬幣魔術的。”早晨我吃早飯的時候，提醒哥哥道。

“早晨表演什么硬幣魔術？既然答應了你，那好吧，就給你表演一個。你去廚房拿一個空碗過來。”

哥哥把一枚硬幣放在了空碗的底部，放完硬幣對我說：“你仔細看著碗的底部，眼睛不要看別的地方。你能看見硬幣在哪兒嗎？”

“當然看得見。”我很不屑地說道。

這時，他把碗從我的眼前挪遠了一些，問我：“在這個位置你還能看見它嗎？”

“我能看見硬幣的邊緣。其余的部分都被擋住了，我看不到。”

緊接著，他把碗又挪遠了一些，這次的距離很遠，硬幣被完全遮擋了起來。

“你待在那里別動。我在碗里倒點水。現(xiàn)在你可以看到硬幣嗎？”

“我現(xiàn)在可以看見整枚硬幣了，為什么我看到硬幣和碗底似乎都浮了起來？”

這時，哥哥用鉛筆在紙上畫了一個碗，這是一個內(nèi)裝硬幣的碗。當哥哥畫完后我恍然大悟。把一枚硬幣放到空碗的底部，硬幣處的光線并不會傳到眼睛里，因為光是沿著直線傳播的，不透明的碗壁的位置剛好位于眼睛和硬幣之間。當哥哥將水倒入碗里后，硬幣處的環(huán)境就出現(xiàn)了變化：光線從水到空氣的過程中發(fā)生了偏折現(xiàn)象（物理學家稱這種現(xiàn)象為“折射”），硬幣的圖像會越過碗沿，來到眼睛里。我們看到的東西都是眼前的東西，所以我們會理所應當?shù)卣J為硬幣換了位置，它應該在略高一點的折射光線的延伸點，所以我們會感到碗底和硬幣好像浮起來了（圖6）。

“我希望你可以理解并且記住這個實驗。”哥哥認真地說道。

“當你游泳的時候，你會用到這個原理的。”哥哥接著說，“當你在能看得見底的水里游泳時，你要記得今天的實驗。事實上，你看到的水底的深度要比真正水底的底部高一些，它的高也是非常規(guī)律的：高出整體深度的。讓我向你展示一些數(shù)字吧，如果水的真實深度是1米，而你看到的水的深度則只有75厘米。也正是因為這個原因，許多游泳的小朋友在游泳的時候頻發(fā)意外。因為他們從看到的假象對水的深度做出了錯誤判斷，從而導致了悲劇的發(fā)生。”

在生活中我們可以發(fā)現(xiàn)，當一艘小船在能看見底的水面上劃動的時候，總覺得船底才是水的最深處，而船周邊的水都很淺。當船移動到另一個位置時，感覺船周邊的水更淺了，而位于船所在位置的水又更深了。你認為深水位仿佛隨著船一起移動。這又是什么原因?qū)е碌哪兀?/p>

當你看到這種現(xiàn)象的時候，你應該不會感到很犯難了。這其中的原因就是，從船下水里折射出來的光線幾乎是垂直的，它不大可能改變自己原來的方向，所以我們會覺得那里的水底斜射的光線會比從別處進入我們眼睛的光線高一些，這就會讓人覺得水好像變深了。按照我們所看到的，我們會認為最深的地方就在船底，事實上，水的深度是一樣的。

“接下來我們來做一個不同的實驗。”

哥哥在一個玻璃杯里灌滿了水，他說：

“我現(xiàn)在往杯子里投入1枚兩戈比硬幣，你猜猜會發(fā)生什么？”

“毫無疑問，水一定會溢出來啊。”

“那我們就來好好看看吧。”

哥哥非常仔細地，盡量不引起抖動，將一枚硬幣放入裝滿水的杯子里。水一點兒都沒有溢出來，這讓我感到很奇怪。

“放完一個后，我們試著再放入另外1枚硬幣。”哥哥說道。

“這樣的話，水肯定會溢出來的！”我向哥哥警告道。

我的預言又錯了，第二枚硬幣被放到杯子里了。隨后哥哥將第三枚、第四枚硬幣也放入了杯子里。

“這個杯子就像是個無底洞！”我感嘆道。

哥哥沒有回應，他還在一枚接一枚地放著硬幣。第五枚硬幣、第六枚硬幣、第七枚兩戈比硬幣被放到了杯子里，它們落到了杯底，杯中的水仍然沒有絲毫的反應。我被眼前的一切驚呆了，急切地問哥哥這是怎么做到的。

哥哥并不打算馬上跟我解釋原因，仍然認真地往杯子里放硬幣，直到放完第十五枚時，他才停下來。“就放這些吧。”哥哥說道。

“你看啊，杯沿的水都鼓脹起來了。”

是的，水的高度確實比杯子的高度還高，在杯沿處產(chǎn)生了一圈水，仿佛裝在了一個透明的袋子里。

“整個秘密都藏在了這些膨脹的水里。”哥哥說，“這些水就是被硬幣擠出來的。”

“15枚硬幣才擠了這么點兒水出來？”我感到很不可思議，“15枚硬幣放在一起是很多的，而水就那么薄薄一層，它最多也就比1枚兩戈比硬幣厚一點。”

“你不要光想著計算高度，計算面積也很重要啊。哪怕水層的高度比1枚兩戈比硬幣還要薄，但是它寬了多少倍呢？”

我恍然大悟。杯口比兩戈比硬幣寬了差不多4倍啊。

“在厚度一樣的情況下，杯口比兩戈比硬幣寬4倍，那么，水層只比戈分硬幣大4倍。按照我的推論，杯子里可以放4枚硬幣，可你放了足足15枚，而且我感覺繼續(xù)放也是沒有問題的。這些奇怪地方都是哪兒來的？”

“你的計算方法是錯誤的。如果一個圓的圓周比另外一個圓的圓周長4倍，那么它的面積就是16倍，而不是4倍了。”

“這是怎么回事？”

“這是基礎運算。我問你，1平方米等于多少平方厘米？別跟我說是100。”

“當然不是，是100×100=10000。”

“這就對了。這個規(guī)則同樣適用于周長的計算：兩倍長就是面積的4倍，3倍長就是面積的9倍，4倍長就是面積的16倍，依此類推。換句話說就是，杯子里面多出來的水的容積是兩戈比硬幣體積的16倍。你現(xiàn)在知道是怎么回事了吧，為什么放了這么多硬幣，杯子里面還有放硬幣的地方？因為超出杯沿的水的厚度可以趕上大約兩個硬幣的厚度。”

“難道說這個杯子里還可以放20枚硬幣？”

“如果放硬幣的時候足夠小心，甚至還可以放得更多一些。”

“要不是親眼所見，我真的不會相信一個已經(jīng)裝滿水的杯子還可以放這么多硬幣！”

不過，當你看見杯子里硬幣堆得像小山一樣，你不信也得信了。

“你可不可以把11枚硬幣放進10個小茶碟里，但是，每個茶碟里只允許放1枚硬幣？”哥哥問我。

“是裝滿水的茶碟嗎？”

“沒有水的茶碟也可以啊。”哥哥邊微笑著說邊把10個碟子擺成了一排。

“這也是物理實驗嗎？”

“這算是心理實驗。你開始做吧！”

“我不可能把11枚硬幣放進10個茶碟里的。我做不到的。”

“你盡管做吧，我可以幫你一起完成。我們拿過第一個碟子，在里面放入第一枚硬幣，然后暫時把第十一枚硬幣也放進來。”

也就是說，我在第一個小茶碟里放入了兩枚硬幣，但是我不知道該怎么繼續(xù)下去了。

“你把那兩枚硬幣放好了嗎？接下來你把第三枚硬幣放入第二個茶碟里。第四枚硬幣放進第三個茶碟里，就這樣以此類推，直到放完所有的硬幣。”

我按照哥哥的方法做著，當我把最后一枚硬幣放到第9個小茶碟里的時候，突然發(fā)現(xiàn)，第10個碟子里一個硬幣也沒有！

“現(xiàn)在你把第一個小茶碟里的第11枚硬幣放到第10個小茶碟里面。”哥哥說完，就直接把第11枚硬幣拿出來放到了第10個小茶碟里了。

現(xiàn)在10個茶碟里靜靜地躺著11枚硬幣，而且每個茶碟里都只有1枚硬幣。我感到很驚訝！

哥哥很快就收完了所有的硬幣，我想追問其中的原因。但是哥哥并不打算解釋給我聽。

“你應該自己悟出其中的道理。這樣比你直接知道現(xiàn)成的答案更有意義，也更有樂趣。”

緊接著，哥哥又給我安排了新的任務。

“這里有6枚硬幣，要求是將它們擺成三排，每一排需要3枚硬幣。”

“按照你的要求擺，我需要9枚硬幣。”

“用9枚還有什么意思呢？你只能用6枚。”

“難道這又是什么不可能完成的任務嗎？”

“你不能每次都不思考就放棄吧！來，讓你看看這到底有多簡單。”

接著他把硬幣擺成了如圖7的樣子：

“你看，這不就是答案嗎？”他很驕傲地說道。

“但是這是交叉排列啊。”

“要求沒有不允許交叉排列啊？”

“要是我一開始就知道可以這樣做，我也可以想辦法完成啊。”

“完成這個任務的方法有很多，你可以嘗試用別的方法啊。有時間你可以嘗試一下，還有三個任務要給你做。”

“任務一：你需要把9枚硬幣擺成8排，每排3枚。”

“任務二：你需要把10枚硬幣擺成5排，每排4枚。”

“任務三：我畫好了一幅6×6方格圖（圖8）。你要把18枚硬幣放到圖上的方格里，保證每個縱向和橫向的方格里都有3枚硬幣。我還聯(lián)想起另外一個硬幣魔術。你左手拿著1枚15戈比的硬幣，右手拿著1枚10戈比的硬幣，不能讓我看見，也不要讓我知道你的左右手各拿了多少面值的硬幣。這個由我來猜。你在心里做如下的運算就好：把你右手里的硬幣數(shù)目加一倍，左手里的硬幣數(shù)目加三倍，然后將所得的結(jié)果相加。聽好了嗎？”

“我知道了。”

“你所得的是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？”

“奇數(shù)。”

“你的右手里有10戈比硬幣，左手里有15戈比硬幣。”哥哥很快就回答出來了。

我們又玩了一回。這回得數(shù)是偶數(shù)，哥哥又再次準確地猜了出來，我左手里面有10戈比硬幣。

“當你有空的時候可以仔細思考一下這個游戲。”哥哥說。

“我最后給你展示一個更有趣的硬幣游戲。”

哥哥把三個茶碟擺成了一排，他將一摞硬幣放在了第一個茶碟里：最底下的硬幣是1盧布，1盧布的上面是50戈比，然后是20戈比、15戈比和10戈比（圖9）。“現(xiàn)在要把這一摞硬幣全都移到第三個碟子里，而且還必須遵守下面的規(guī)則：第一，一次只能移動1枚硬幣；第二，將面值大的硬幣放在面值小的硬幣上是不允許的；第三，可以在中間的茶碟里放硬幣，不過只能是暫時的，請記住，玩完游戲的時候，所有的硬幣必須按照在第一個碟子里時的擺放方式出現(xiàn)在第三個碟子里面。我把規(guī)則講清楚了，你開始動手吧。”

哥哥話音剛落，我就開始一個個移動硬幣了。我在第三個茶碟里放了一個10戈比的硬幣，然后在中間茶碟里放了一個15戈比的硬幣，放完后我就不知道該怎么做了。20戈比的硬幣應該放到哪里呢？它的面值可比前兩枚硬幣的面值都要大啊。

“你又遇到什么麻煩了？”哥哥很關心地問道。

“你在中間茶碟里放一個10戈比，把它放在15戈比的上邊，如此一來，第三個碟子里面就可以放個20戈比的。”

這個難題解決了，又來了個新的難題。50戈比的硬幣應該放在哪里呢？我很快想出對策，在第一個碟里放10戈比硬幣，15戈比的硬幣放進第三個碟，隨后把10戈比的硬幣也移到第三個碟子里面。這樣一來，50戈比的硬幣就可以放到空出來的碟子里了。然后我又嘗試了很多的移動辦法，終于把1盧布的硬幣從第一個茶碟里移出來了，把一摞硬幣按照一開始的擺放方式移動到了第三個碟子里面。

“你總共移動了多少次？”哥哥稱贊了我的表現(xiàn)后問道。

“我不記得了。”

“那好吧，現(xiàn)在我們來計算一下。用最少的步驟來達到目的是很有趣的。如果只給你一枚15戈比的硬幣，一枚10戈比的硬幣，而不是原來的硬幣數(shù)目，你需要移動多少步呢？”

“3步就可以了：在中間碟里放一個10戈比的，第三個碟里放一個15戈比的，最后10戈比的移到第三個碟里。”

“完全正確。再加一個20戈比的會怎樣呢，我們來計算一下吧，看這回我們需要移動多少步。我們這樣做：把2枚小面值的硬幣按順序移到中間的碟里，我們剛才做過，這需要3步。在第三個碟里放一個20戈比的硬幣，這是1步。把這2枚硬幣從中間碟子里面移到第三個碟里，這需要三步。所以想要達到這個效果至少需要7步。”

“我用自己的辦法計算一下4枚硬幣到底需要多少步。移動3枚小硬幣到中間的碟，這需要7步，隨后把50戈比的硬幣放到第三個碟里，這又要需要一步；最后再把3枚小硬幣移到第三個碟，還需要7步。因此總共需要15步。”

“你的進步很大啊，那你再想想5枚硬幣需要多少步呢？”

“計算方法應該是：15+1+15=31。所以至少需要31步。”

“你現(xiàn)在已經(jīng)掌握計算方法了。但我可以告訴你一個更加簡單的方法。事實上，我們已經(jīng)做了很多次實驗了，所以你有沒有發(fā)現(xiàn)這樣一個固定的計算規(guī)律呢？我們每次計算出的得數(shù)大多都類似于3、7、15、31，這樣的一些數(shù)目，如果你足夠細心，你就會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)大多都是2的倍數(shù)減1。”

3=2×2-1

7=2×2×2-1

15=2×2×2×2-1

31=2×2×2×2×2-1

“通過這個規(guī)律你大概明白一些了吧。你需要移動多少枚硬幣，移動的步數(shù)就是幾枚硬幣數(shù)目的2相乘再減去1。例如，移動7枚硬幣需要：2×2×2×2×2×2×2-1=128-1=127步。”

“不錯，你已經(jīng)可以熟練玩這個游戲了。但是你必須知道一個游戲規(guī)則：如果硬幣的數(shù)目是奇數(shù)，你就要將第一枚硬幣先放到第三個碟里，如果第一枚硬幣是偶數(shù)，就將它放到中間的碟里。”

“這個游戲是你想出來的嗎？”

“不是，我只是把游戲的規(guī)則用到玩硬幣上了而已。這個游戲起源于印度。關于它，還有一個非常有意思的傳說。在貝納列斯城好像有座寺廟，印度神伯拉瑪就在這個神廟里，傳說他在創(chuàng)造世界時設置了三根金剛棒，一根金剛棒上套了64個金環(huán)，最大的金環(huán)放在了金剛棒的最下面，最大的金環(huán)上邊的金環(huán)一個比一個小。廟里的祭司們不斷地把這些金環(huán)從一個金剛棒套進另一個金剛棒里，第三根金剛棒充當輔助棒的作用。我們還要遵守玩游戲的規(guī)則：一次只能套一個一環(huán)，并且必須是大環(huán)在小環(huán)的下面。神話故事里是這么說的，如果把這64個環(huán)全都移動完的話，世界末日就會來臨，地球就會毀滅。”

“如果這個童話故事是真的，這個世界早就該毀滅了！”

“你覺得移動64個環(huán)花費的時間很少是嗎？”

“一秒鐘可以移動一步，那么一個小時可以移動3600次。”

“然后會怎么樣？”

“不間斷地移動，一天一夜將近10萬次，10天就是100萬次。100萬次，別說移動64個環(huán)，就算是1000個環(huán)都沒問題了。”

“事實上，要想移動完這64個環(huán)，需要整整5000億年的時間！”

“怎么會這樣？移動的次數(shù)不就是64個2的乘積再減1嗎？”

“是18億億次多，換個表達方式就是百萬的百萬的百萬。”

“等一下，我仔細計算一下。”

為了便于計算，我先計算出16個2的乘積，然后把乘積65536再乘以這個得數(shù)，最后將所得的數(shù)兩兩相乘。整個過程的計算枯燥乏味，不過我仍然耐著性子計算，直到把它算完為止。最后我得到了這樣一個數(shù)字：18446744073709551616。

我承認，哥哥是對的。

我現(xiàn)在鼓足勇氣，準備做哥哥留給我的需要獨立完成的題目。與上一個題目相比，這些題目好像沒有那么復雜，有些甚至非常簡單。11枚硬幣放10個茶碟里的游戲，我可以輕松地完成：我們將第一枚和第十一枚硬幣放到第一個茶碟里的時候，又在第二個茶碟里放入第三枚硬幣，第三個茶碗放第四枚，第五枚，依次放下去。可是第二枚硬幣在哪里呢？第二枚硬幣一直都沒有被用過！這就是整個游戲的關鍵所在！猜手里的硬幣是哪一枚的答案也沒想象中那么難：15戈比的兩倍是偶數(shù)，三倍就是奇數(shù)。但是像10戈比的這樣的數(shù)目無論幾倍都是偶數(shù)。依據(jù)以上總結(jié)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)如果得數(shù)是偶數(shù)，那么15戈比就是被乘了兩倍，它就在右手里；如果得到的結(jié)果是奇數(shù)，那我們就很容易想到，數(shù)目就是15戈比的3倍，它就在左手里。根據(jù)圖10所示，擺硬幣的答案也就非常明確了，左圖為任務一的答案，右圖為任務二的答案。

圖11是方格圖里擺硬幣的答案：在有36個方格的圖里放置18枚硬幣，每一排和每一列里的硬幣枚數(shù)都是3枚。