第二章 自然數和人造數

1．最純粹的數學

人們通常認為，數學是一切科學的皇后，數學家們更是深以為然。身為皇后，它自然要盡力避免屈就其他知識領域。因此，在某次“純粹數學與應用數學聯合會議”上，大衛·希爾伯特（David Hilbert）應邀做了一個開幕演講，借此消除從事這兩類研究的數學家之間的敵意。他的開場白是這樣的：

“我們經常聽說，純粹數學與應用數學相互敵視。事實并非如此。兩者并未相互敵視，甚至可以說，兩者永遠不會相互敵視。純粹數學與應用數學之所以不會敵視對方，其真實原因在于，二者根本沒有任何相似之處！”

不過，盡管數學家希望數學保持純粹，并且盡量遠離其他科學領域，但是，其他學科（尤其是物理學）卻和數學走得很近，它們愿意盡最大的可能和它“稱兄道弟”。事實上，純粹數學里的幾乎每一個分支如今都被應用于物理學，來解釋物理世界里的種種特征。其中甚至包括像抽象群理論、非交換代數和非歐幾何這類一直被認為是最純粹的、無法得到應用的數學理論。

即便如此，迄今為止仍然有一個龐大的數學體系，除了幫助人們進行思維體操之外，找不到任何用武之地。因此，它當之無愧地獲得了“純粹之桂冠”。這就是所謂的“數論”（這里的數指的是整數），它是純粹的數學思想中最古老，也是最復雜的產物之一。

盡管聽上去有點奇怪，但是數論作為最純粹的數學分支，從某種意義上可以算作是一門經驗科學，甚至是一門實驗科學。數論中的許多命題，都是人們在用數字進行各式各樣的嘗試中提出來的，這就像物理法則是來源于人們嘗試對物質對象做不同的工作一樣。數論和物理學還有一個相似之處：它們的一些命題從“數學上”得到了證明，還有一些命題仍停留在純粹階段，仍在吸引著無數的數學家去探索。

以質數問題為例。所謂質數，就是指那些無法被兩個或兩個以上更小整數乘積表示的數字，比如，1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17等都是質數，而12這樣的數字就不是質數，因為它可以寫成2×2×3的形式。

質數的個數是無限的嗎？還是說，存在一個最大的質數，如果一個數比這個最大的質數還要大，那它可以用已有的質數乘積表示？這些問題最早是由歐幾里得（Euclid）提出來的，他給出了一個非常簡潔優雅的證明，說明了質數有無窮多個，所以并不存在“最大的質數”。

為了檢驗這個命題，我們不妨先假設質數的數量是有限的，并用字母N來表示已知的最大質數。現在，我們先求出所有已知質數的乘積，然后在得出的結果上加1。它可以這樣表示：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1

這個數字無疑比已知的“最大的質數”N要大得多，同時，一目了然的是，這個數字不能被任何已知的質數（小于等于N）整除，因為從它的構造上可以發現，它被任何質數整除都余1。

所以，我們構建的這個數要么本身就是一個質數，要么能被一個比N大的質數整除，而這兩點都和我們最初的假設（即N是最大的已知質數）相矛盾。

上述這種證明方法叫作歸謬法（reductio ad absurdum），是數學家們最喜歡使用的論證方法之一。

既然知道了質數有無窮多個，我們接下來就會提出這樣的疑問：有沒有一種簡單的方法，可以把它們無一遺漏地全都列出來呢？為此，古希臘哲學家、數學家埃拉托色尼[16]（Eratosthenes）最先提出了一個方法，我們通常稱之為“篩選法”。數學家所要做的，就是列出所有的正整數：1,2,3,4……，然后去掉所有2的倍數，再去掉剩下的數中所有3的倍數，接下來是5的倍數……圖9中展示了做了埃拉托色尼篩選法的前100個數字，其中一共包含26個質數。通過這種簡單的方法，人們已經建立了一個10億以內的質數表。

圖9 埃拉托色尼篩選法的前100個數字。

不過，如果有誰能夠設計出一個公式，幫助我們快速、自動地找出只包含且包含全部質數的公式，那樣就簡單多了。不過，歷經上千年的努力，這樣的公式依然是不存在的。1640年，法國著名數學家費馬（Fermat）設計出一個公式，他認為，由這個公式計算出的結果全都是質數。

在費馬的公式里，n可以取連續正整數值：1,2,3……。利用這個公式，我們可以得出：

上述每個結果確實都是質數。不過就在費馬公布這個公式大約一個世紀之后，德國數學家歐拉（Euler）卻發現，由費馬的公式計算出的第五個數（）并不是一個質數，這個數是6,700,417和641的乘積。所以，費馬從經驗中得出的質數計算公式根本就是錯的。

另一個著名的質數計算公式是：n2-n+41，其中n還是取1,2,3……這些連續正整數值。事實證明，當n的值從1取到40時，這個公式的結果都是質數，但很不幸的是，它在第41步上失敗了。當n等于41時，

412-41+41=412=41×41，

這是一個平方數，根本不是質數。

還有另一個“未能如愿”的公式：

n2-79n+1601

在n小于等于79時，這個公式都還適用，但在80上慘遭失敗！

因此，人們到現在仍然沒有找出一個只會得出質數解的通用公式。

數論中還有一個有趣的問題，它既沒有被證實，也沒有被推翻。它就是1742年提出的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）——每一個偶數都可以表示為兩個質數之和。用一些簡單的例子，你可以輕松驗證這個猜想是成立的，比如：12=7+5,24=17+7，以及32=29+3等。然而，盡管數學家們為此花費了大量的精力，卻從來無法給出一個確鑿的結論——要么證明這個說法是正確的，要么找到一個例子來反駁它。1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼（Schnirelman）向理想的目標邁出了建設性的一步，他成功證明，每個偶數都可以寫成不超過30萬個質數之和；而“30萬個質數”和最終目標“2個質數”之間的巨大鴻溝，則由另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）縮小成了“4個質數”。不過從“4個質數”再到哥德巴赫猜想中的“2個質數”，似乎成了最艱難的一步，沒有人知道還需要幾年或是幾個世紀，人們才能將這個命題證實或是證偽。[17]

好吧，之前我們還想用一個公式自動推導出任意大的質數，如此看來，這個理想還很遙遠，甚至連這樣的公式是否存在也無法確知。

現在，我們或許可以再提一個謙遜些的問題：在一個給定的數字區間里，質數到底占多大的百分比？隨著區間的上限越來越大，這個百分比是否會接近一個常數？如果不是，比例是會增長，還是會減少？就這些問題，我們可以求助于經驗，數一數表格里已有的質數個數。100以內有26個質數，1000以內有168個質數，1,000,000以內有78,498個質數，1,000,000,000以內則有50,847,478個質數。用質數的個數除以對應區間里的數字總數，可以得到如下表格：

首先，這張表格表明，隨著數字區間的增大，質數的占比逐漸減少，但是質數在任何位置都不會消失。

有沒有什么簡單的辦法，可以用數學公式來表示區間越大，質數占比越少的趨勢呢？答案是肯定的，而且描述質數平均分布的定理已經成為數學領域最杰出的發現之一。它可以簡單地表示為：從1到大數N之間質數所占的百分比，近似等于N的自然對數的倒數[18]。N越大，這兩個值就越接近。

表格中的第四列就是N的自然對數的倒數值。如果把它和前一列進行對比，不難發現，二者確實非常接近，而且N越大，接近程度就越高。

就像數論里的許多其他定理一樣，這個質數定理最開始也是數學家憑借經驗發現的，在相當長的時間里，人們找不到嚴格的數學方法來證明它。直到19世紀末，法國數學家阿達馬（Hadamard）和比利時人德·拉·瓦萊·布桑（de la Vallee Poussin）終于成功地證明了這個定理，不過由于論證方法十分復雜，在此就不再贅述了。

要討論整數問題，我們就不能不提到著名的費馬大定理（Great Theorem of Fermat）。這個問題（包括一系列同類問題）與質數的性質關聯不大，其根源可以追溯至古埃及。當時，任何一個優秀的木匠都知道，一個三條邊比例是3∶4∶5的三角形里，肯定有一個直角。實際上，古埃及人一直把這樣的三角形，也就是現在所謂的“埃及三角形”，作為木匠的三角尺[19]。

公元3世紀，亞歷山德里亞的丟番圖（Diophantes of Alexandria）開始思考，在滿足兩個整數的平方和加起來等于第三個整數的條件下，3和4是否是一對唯一解。他成功地證明了，還有其他的數字組合（實際上有無數組）滿足這樣的條件，并且找到了普遍的規律。這種三條邊的長度都是整數的直角三角形如今被稱為畢達哥拉斯三角形，而埃及三角形就是其中的一個。畢達哥拉斯三角形問題可以簡單地表示為一個代數方程，其中x、y、z的取值必須是整數[20]：

x2+y2=z2

1621年，皮埃爾·費馬在巴黎買了一本法語版的丟番圖所著的《算術》，這本書里就有畢達哥拉斯三角形相關的討論。閱讀這本書時，他在書頁邊上寫了一段簡短的筆記，大意是說，雖然x2+y2=z2這個方程有無窮多個整數解，但是， xn+yn=zn這種形式的方程，在n大于2時，卻得不到任何整數解。

費馬在這段筆記旁邊補充道：“我已經找到了一個絕佳的證明，不過頁邊太窄，寫不下了。”

費馬去世后，人們從他的藏書里發現了這本書，寫在書頁邊上的筆記也因此公之于眾。三個多世紀過去了，各國最頂尖的數學家都試圖重構費馬在頁邊寫下這條筆記時腦袋里的那個證明。不過直到現在，仍然沒有人找到解決的方法。可以肯定的是，在通往最終目標的道路上，數學家們已經取得了相當大的進展。為了證明費馬的這個定理，他們甚至還開創了一條全新的數學分支，名叫“理想數論”（theory of ideals）。其中，歐拉證明了x3+y3=z3和x4+y4=z4沒有整數解，狄利克雷（Dirichlet）證明了同樣的結論適用于x5+y5=z5。在幾代科學家的共同努力下，人們如今已經證明，在n小于269的所有情況下，費馬的方程都沒有整數解。然而，迄今為止，仍然沒有人找到n為任意值的通用解，而且，開始有越來越多的人懷疑，當初費馬要么壓根沒去證明這個命題，要么就是在證明時犯了錯。這個問題也因專門為它而設的十萬德國馬克賞金而為大眾所熟知，當然，只是沖著賞金前去的業余人士最終肯定一無所獲。

當然了，還有另一種可能，那就是費馬大定理本身就是錯的。我們或許可以找出一個反例，讓兩個整數多次冪的和與另一個整數的同一次冪相等。不過，因為這個指數只可能是大于269的數，所以想要找到反例同樣不是易事。