2．如何數出“無窮大”？

上一節中我們討論了數字，其中有不少都是相當大的數。不過，即便是大到不可思議，就像西薩·班·達依爾要求的麥粒數目那么大，這些數字仍然是有限的。只要給足時間，人們就可以把這些數字從頭到尾寫下來。

不過，還有一些具有無窮性的數，無論花多少時間都寫不完。例如，“所有整數的數量”顯然是無窮大的，“一條線上所有幾何點的個數”亦是如此。對于這樣的數，我們除了說它們是無窮大的以外，還可以嘗試其他的描述嗎？換句話說，有沒有可能比較兩個不同的無窮數，看看哪一個“更大”？

“所有整數的個數和一條線上所有幾何點的個數相比，哪一個更大”——這樣的問題有意義嗎？著名的數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）最先考察了這個乍看上去有點天馬行空的問題，他是“無窮數學”當之無愧的開創者。

想要談論無窮數的大小，就會有一個問題隨之而來：我們既沒法表示這些數字，也無法把它們寫下來。這就有點兒像一個正在清點自己百寶箱的霍屯督人，他想知道自己手里的玻璃珠子多，還是銅幣更多。相信你還記得，霍屯督人無法數出3以上的數字，那么，他會不會因為數不出珠子和銅幣各自的數量，就放棄比較這兩個數的大小呢？不一定。如果他足夠聰明，就會把珠子和銅幣逐一比較直至得出答案：把一顆珠子擺在一枚銅幣邊上，另一顆珠子擺在另一枚銅幣邊上，就這樣擺下去。如果珠子用完了，銅幣還剩下幾枚，他就會知道，銅幣比珠子更多；如果銅幣用完了，還有幾顆珠子，那么就是珠子比銅幣多；如果兩者同時用完，那就是一樣多。

康托爾在比較無窮數時，用的也是完全相同的辦法：把兩組無窮數進行配對，如果這兩個集合里的每一個元素都能一一對應，最后沒有任何元素剩下，那么這兩組無窮數就是相等的；如果其中一個集合里的有元素無法配對，那么就可以說，這組無窮數要比另一組更大一些，或者說更強一些。

這個方法無疑是可行的，事實上，要比較無窮大的數字，也只有這個法子了。不過，在真正開始采用這個方法之前，我們得做好大吃一驚的心理準備。比如說，我們來比較一下所有的奇數和偶數這兩個無窮數集合。從直覺上判斷，你肯定會覺得奇數和偶數一樣多，而且它們也完全符合上述的規則，二者可以做到一一對應：

在這個表里，每一個奇數都對應著一個偶數，反之亦然。因此，奇數和偶數是大小相等的無窮數。看上去很簡單，也很自然！

不過，稍等一下。下面這兩個數，你覺得哪個更大：所有整數的數量（包括所有的奇數和偶數），還是所有偶數的數量？你當然會選擇前者，因為它既包括了全部的偶數，也包括了全部的奇數。但這只是你的直覺而已。想要得到準確的答案，就必須應用無窮數比較的規則。如果你真的這么做了，就會吃驚地發現自己的直覺是錯的。實際上，所有的整數和所有的偶數也可以放在如下這個表中，實現一一對應：

依照無窮數比較的規則，我們只能得出如下結論：所有的偶數和所有的整數個數完全相等。當然，這聽起來有點自相矛盾，因為偶數只是整數的一部分，但是必須要記住，我們在這里計算的是無窮數，它們的性質會不太一樣。

沒錯，在無窮數的世界里，部分確實有可能等于整體！最好的一個例證，莫過于德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）講的一個故事。他在課堂上的這段話描述了無窮數的矛盾屬性[13]：

“我們來想象一個旅館，它的房間數量是有限的，而且所有房間都住滿了人。假如有一個新客要求入住，那么老板會說：‘抱歉，所有房間都住滿了。’再來想象另一家旅館，這里有無窮個房間，同樣，每一個房間里都住上了人。這時又有新客來訪，要求入住。

“‘沒問題！’旅館老板會立刻答應下來，并把之前住在一號房的客人移到二號房，二號房的客人移到三號房，三號房的客人移到四號房，依此類推……這樣，新客就可以住進調整后空置出來的一號房里了。

“我們再換個方式，想象一個同樣有無窮多個房間的旅館。所有的房間都客滿，并且有無窮多個新客要求入住。

“‘好的，先生們，請稍等。’旅館老板說道。

“緊接著，老板把一號房的客人移到二號房，二號房的客人移到四號房，三號房的客人移到六號房……以此調整。

“現在，所有門牌號是奇數的房間全都空置了，無窮多個新客人就可以輕松入住進去了。”

希爾伯特描述的這個場景可能不太容易想象，畢竟現在不是戰時的華盛頓，沒有那么多要住店的客人。不過這個例子很好地說明了在進行無窮數的運算時，我們會遇到一些和普通算術不太一樣的運算屬性。

依據康托爾的無窮數比較規則，我們還可以證明，所有分數（如,）和所有整數的個數是相等的。我們可以按照如下的規則，把所有分數排成一排：先寫出分子和分母之和等于2的分數，這樣的分數只有一個，即；再寫出分子和分母之和等于3的分數，即和；接下來是分子和分母加起來等于4的分數，包括和……，以此類推。按照這個步驟，我們會得到一個包含了所有分數的無限數列（圖5）。現在，在這個數列旁邊寫出整數的數列，就可以實現無窮多個分數和無窮多個整數的一一對應。所以說，它們的數量是相等的！

圖5 非洲土著和康托爾教授都在比較自己數不出來的大數字。

你可能會說：“聽上去不錯。不過，這不就意味著，所有的無窮數都是一樣大的嗎？如果是這樣，比較它們的大小還有什么意義呢？”

不，事情當然沒有那么簡單。人們可以很容易地找出比所有的整數或分數的個數還要大的無窮數。

現在回過頭來，研究一下本章開頭提出的問題。“一條線上所有點的個數”和“所有整數的個數”，到底誰大誰小？你會發現，這兩個無窮數的大小確實是不同的——一條線上的點的個數要比所有的整數或分數個數要多得多。為了證明這一點，我們試著在一條線段上（比如說1英寸長），建立點和整數數列之間的一一對應關系。

線段上的每一個點都可以表示為它與線段某端間的距離，而且這段距離都可以記作一個無限小數，比如0.7350624780056……，或0.38250375632……[14]。現在我們就可以來比較所有整數和這些無限小數的個數了。那么，上面這些無限小數，和像這樣的分數，又有怎樣的區別呢？

大家一定還記得，我們在數學課上學過，每一個普通分數都可以轉化成無限循環小數，比如,。我們上面已經證明過，所有普通分數的個數和所有整數的個數是相同的，因此，所有循環小數的個數和所有整數的個數也是相同的。但是，一條線段上的點不可能完全表示成無限循環小數，而且大多數情況下，這些無限小數是不循環的。很容易看出來，在這種情況下，兩個數列無法建立一一對應的關系。

假如有人聲稱，他能建立如下形式的對應關系：

當然，因為我們不可能寫出無限不循環小數的每一位數，所以這張表的作者必定已經找到了某種一般性的規則（類似于我們將分數和所有整數進行配對的規則），并且按照這種規則構造了上面這個表，這種規則確保，我們所能想到的任何一個小數遲早都會出現在這張表里。

然而，不難證明，沒有一種排列法則可以保證這樣的事，因為我們總是可以寫出一個沒有出現在這個表里的無限不循環小數。如何辦到的？再簡單不過了。只要讓這個數的小數點后第一位數字和表里的一號數字（N1）的小數點后第一位不同，第二位數字和N2的小數點后第二位不同，依此類推，就會得到一個類似下面這樣的數字：

這樣的話，無論你往下找多久，這個數字都不會出現在這個表里。如果這張表的作者告訴你，你寫下的這個小數就在第137行（也可以是其他任意一行），那么你可以立刻告訴他：“不可能，因為這兩個數在小數點后第137位上的數字是不同的。”

因此，一條線上的點的個數和整數的個數之間，無法建立一一對應的關系，這意味著，一條線上的點的個數比所有整數或分數的個數更大，或者說更強。

我們一直在討論“1英寸長的線段”上點的個數，不過，根據“無窮數學”規則，很容易證明上述結論對任何一條線段上的點都適用，也就是說，無論是1英寸、1英尺，還是1英里，這些線段擁有的點的數目都是相等的。想要證明這一點，只要看一下圖6就可以。圖上比較了兩條長度不相等的線段AB和AC上的點的個數。為了在兩條線之間建立一一對應的關系，我們從AB上的每一點出發，做一條平行于BC的線，并將它與兩條線的交點進行配對，例如D和D1、E和E1、F和F1等。如此一來，AB上的每一個點在AC上都有點與之對應，反之亦然。因此，根據我們的規則，這兩條線段擁有的點的數量是相等的。

在探索無窮大數的過程中，我們還有一個出人意料的發現：一個平面上的所有點的數量和直線上點的數量竟然是一樣的！為了論證這一點，我們來考察線段AB（長度為1英寸）上面的點，和正方形CDEF內的點（圖7）。假設線段AB某個位置上的點均可以用某數字來表示，比如說 0.75120386……，那么，我們可以由這個數字確定兩個不同的數字，取小數點后的奇數位和偶數位重新組合，即0.7108……和0.5236……。

圖6

圖7

接下來，我們分別以這兩個數字為橫坐標和縱坐標的值，在正方形中尋找到對應的點，并把這個點稱為此前線段上點的“對應點”。反過來，如果我們知道正方形里任何一個點的橫坐標和縱坐標，打個比方，比如說0.4835……和0.9907……，通過相同的規則合并這兩個數字，也可以得到它的“對應點”在線段上的位置：0.49893057……。

很顯然，通過上述的步驟，兩組點之間建立起了一一對應的關系。線上的每一個點都能在正方形里找到它的對應點，而正方形里的每一個點也能在線上找到對應。沒有任何一個點會被遺漏。依照康托爾的規則，我們可以得出結論：正方形里所有點的數量等于線段上的所有點的數量。

使用類似的方法，也很容易證明，立方體內所有點的數量等于正方形或直線上點的數量。我們只需要把原來的小數拆分成三個新的數字[15]，然后用這三個數來定義立方體內“對應點”的位置即可。此外，就像兩條長度不同的線段中，點的數量是相等的一樣，無論正方形或立方體的大小如何，其中點的數量也不會改變。

雖然所有幾何點的數量比所有整數或分數的數量要大，但它還不是數學家們已知的最大的無窮數。事實上，人們發現，所有曲線的種類，包括那些最不同尋常的曲線，要比所有幾何點的數量還要多，因此，必須要用無窮數列的第三個數來描述它。

根據“無窮數學”的開創者格奧爾格·康托爾的定義，無窮數可以用希伯來字母?（aleph）表示，其右下角有一個數字，表示它在無窮數列中的位置。由此，我們可以得到一個數字的序列（其中也包括無窮大數）：

1,2,3,4,5……?0, ?1, ?2, ?3……

當我們說“一條線上有?1個點”，或“存在?2條不同的曲線”時，就和我們在說“世界分為七大洲”或“一盒紙牌有52張牌”時，沒什么兩樣。

圖8 前三位無窮大數字。

在結束有關無窮數的討論之前，我們需要指出，雖然這些無窮數只分了幾級，但是卻包含了我們能想到的所有無窮大數。我們知道，?0代表所有整數的個數，?1代表所有幾何點的數量，?2代表所有曲線的數量，但是迄今為止，還沒有人能夠想出用來描述?3的集合。看來，前三個無窮大數就足以囊括我們所能想到的任何數字，這和我們的老朋友霍屯督人的處境剛好相反：他們明明擁有很多孩子，卻最多只能數出三個！